(A题)如图正方体ABCD-A1B1C1D1,则下列四个命题:①P在直线BC1上运动时,三棱锥A-D1PC的体积不变;②P在直线BC1上运动时,二面角P-AD1-C的大小不变;③P在直线BC1上运动时

题目简介

(A题)如图正方体ABCD-A1B1C1D1,则下列四个命题:①P在直线BC1上运动时,三棱锥A-D1PC的体积不变;②P在直线BC1上运动时,二面角P-AD1-C的大小不变;③P在直线BC1上运动时

题目详情

(A题)如图正方体ABCD-A1B1C1D1,则下列四个命题:
①P在直线BC1上运动时,三棱锥A-D1PC的体积不变;
②P在直线BC1上运动时,二面角P-AD1-C的大小不变;
③P在直线BC1上运动时,直线AP与平面ACD1所成角的大小不变;
④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点,则M点必在直线A1D1上其中真命题的编号是______(写出所有真命题的编号).
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

①∵BC1AD1,BC1⊄平面ACD1,而AD1⊂平面ACD1,∴BC1平面ACD1.因此P在直线BC1上运动时,点P到平面ACD1的距离不变,三棱锥P-ACD1即A-D1PC的体积不变,正确;
②P在直线BC1上运动时,二面角BC1-AD1-C大小不变,即二面角P-AD1-C的大小不变,正确;
③由①可知:P在直线BC1上运动时,点P到平面ACD1的距离h不变,而AP随着点P的变化而变化,设AP与平面ACD1所成的角为θ,
sinθ=class="stub"h
AP
随着AP的改变而改变,因此不正确;
④距离如图所示的空间直角坐标系,设M(x,y,0),不妨设D1A1=1,则C1(0,1,0),D(0,0,1).
∵|MD|=|MC1|,∴
x2+y2+1
=
x2+(y-1)2
,解得y=0.
∴点M(x,0,0).
则M点必在直线A1D1上.因此正确.
综上可知:正确命题是①②④.
故答案为①②④.

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