如图，AB是⊙O的直径，直线EF切⊙O于点C，AD⊥EF于点D．（1）求证：AC平分∠BAD；（2）若⊙O的半径为2，∠ACD＝30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留）-九年级数学

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如图，AB是⊙O的直径，直线EF切⊙O于点C，AD⊥EF于点D．

（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）若⊙O的半径为2，∠ACD＝30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留

）

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）证明见试题解析；（2）

试题分析：（1）连接OC，由切线的性质证得OC⊥EF，从而证明OC∥AD，再根据等边对等角和平行线的性质可证得∠BAC=∠OCA和∠OCA=∠DAC，进而可知∠DAC=∠BAC.
(2)由于阴影部分的面积=S梯形OCDA﹣S扇形OCA，所以先求出梯形的面积和扇形OCA的面积即可.
试题解析：
（1）证明：连接OC
∵直线EF切⊙O 于点C
∴OC⊥EF
∵AD⊥EF
∴OC∥AD
∴∠OCA=∠DAC
∵ OA=OC
∴∠BAC=∠OCA
∴∠DAC=∠BAC
即AC平分∠BAD
（2）∵∠ACD=30°，∠OCD=90°
∴∠OCA=60°.
∵OC=OA
∴△OAC是等边三角形
∵⊙O的半径为2
∴AC=OA=OC=2，∠AOC=60°
∵在Rt△ACD中，AD=

AC=1
由勾股定理得：DC=

∴阴影部分的面积=S梯形OCDA﹣S扇形OCA
=

×（2+1）×

﹣

∴阴影部分的面积为：

考点: ①切线的性质；②扇形的面积的计算；③等边三角形的性质与判定

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如图，AB是⊙O的直径，直线EF切⊙O于点C，AD⊥EF于点D．（1）求证：AC平分∠BAD；（2）若⊙O的半径为2，∠ACD＝30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留）-九年级数学

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