已知函数f(x)=ax+1x,且f(1)=-2.(1)求f(x)的解析式,并判断它的奇偶性;(2)求证:函数f(x)在(0,+∞)上是单调减函数.-数学

题目简介

已知函数f(x)=ax+1x,且f(1)=-2.(1)求f(x)的解析式,并判断它的奇偶性;(2)求证:函数f(x)在(0,+∞)上是单调减函数.-数学

题目详情

已知函数f(x)=ax+
1
x
,且f(1)=-2.
(1)求f(x)的解析式,并判断它的奇偶性;
(2)求证:函数f(x)在 (0,+∞)上是单调减函数.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵f(1)=-2,∴a+1=-2,解得a=-3,∴f(x)=-3x+class="stub"1
x
,(x≠0).
f(-x)=-3(-x)+class="stub"1
-x
=-(-3x+class="stub"1
x
)
=-f(x),∴函数f(x)是奇函数.
(2)∀0<x1<x2,∴x2-x1>0,class="stub"1
x1x2
>0.
则f(x1)-f(x2)=(-3x1+class="stub"1
x1
)-(-3x2+class="stub"1
x2
)
=(x2-x1)(3+class="stub"1
x1x2
)
>0,
∴f(x1)>f(x2).
∴函数f(x)在 (0,+∞)上是单调减函数.

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