已知x2-20x+64≤0的解集为A,当x∈A时f(x)=log2x8•log2x4的值域为B.(1)求集合B;(2)当x∈B时不等式1+2x+4xa≥0恒成立,求a的最小值.-数学

题目简介

已知x2-20x+64≤0的解集为A,当x∈A时f(x)=log2x8•log2x4的值域为B.(1)求集合B;(2)当x∈B时不等式1+2x+4xa≥0恒成立,求a的最小值.-数学

题目详情

已知x2-20x+64≤0的解集为A,当x∈A时f(x)=log2
x
8
•lo
g 2
x
4
的值域为B.
(1)求集合B;
(2)当x∈B时不等式1+2x+4xa≥0恒成立,求a的最小值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)A={x|4≤x≤16}
f(x)=(log2x-3)(log2x-2)=(log2x)2-5log2x+6
令t=log2x,则t∈[2,4],y=t2-5t+6=(t-class="stub"5
2
)
2
-class="stub"1
4

∵t∈[2,4],
t=class="stub"5
2
时,y取得最小值-class="stub"1
4
,t=4时,y取得最大值2
B=[-class="stub"1
4
,2]

(2)分离参数可得:a≥-(class="stub"1
4
)x-(class="stub"1
2
)x

g(x)=-(class="stub"1
4
)
x
-(class="stub"1
2
)
x

当x∈B时不等式1+2x+4xa≥0恒成立,可转化为a≥g(x)max
g(x)=-(class="stub"1
4
)
x
-(class="stub"1
2
)
x
[-class="stub"1
4
,2]
上递增
g(x)max=g(2)=-class="stub"5
16

a≥-class="stub"5
16

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