首页 > 定义数列An：a1，a2，…，an，（例如n=3时，A3：a1，a2，a3）满足a1=an=0，且当2≤k≤n（k∈N*）时，(ak-ak-1)2=1．令S（An）=a1+a2+…+an．（1）写出数

定义数列An：a1，a2，…，an，（例如n=3时，A3：a1，a2，a3）满足a1=an=0，且当2≤k≤n（k∈N*）时，(ak-ak-1)2=1．令S（An）=a1+a2+…+an．（1）写出数

题目简介

定义数列An：a1，a2，…，an，（例如n=3时，A3：a1，a2，a3）满足a1=an=0，且当2≤k≤n（k∈N*）时，(ak-ak-1)2=1．令S（An）=a1+a2+…+an．（1）写出数

题目详情

定义数列An：a1，a2，…，an，（例如n=3时，A3：a1，a2，a3）满足a1=an=0，且当2≤k≤n（k∈N*）时，(ak-ak-1)2=1．令S（An）=a1+a2+…+an．
（1）写出数列A5的所有可能的情况；
（2）设ak-ak-1=ck-1，求S（Am）（用m，c1，…，cm的代数式来表示）；
（3）求S（Am）的最大值．
题型：解答题难度：中档来源：奉贤区一模

答案

（1）由题设，满足条件的数列A5的所有可能情况有：
①0，1，2，1，0；②0，1，0，1，0；
③0，1，0，-1，0；④0，-1，-2，-1，0；
⑤0，-1，0，1，0；⑥0，-1，0，-1，0．
（2）ak-ak-1=ck-1，由(ak-ak-1)2=1，
则ck-1=1或ck-1=-1（2≤k≤n，k∈N*），
a2-a1=c1，a3-a2=c2，
…an-an-1=cn-1，
所以an=a1+c1+c2+…+cn-1．
因为a1=an=0，所以c1+c2+…+cn-1=0，且n为奇数，
c1，c2，…，cn-1是由class="stub"n-1
2
个1和class="stub"n-1
2
个-1构成的数列．
所以S（Am）=c1+（c1+c2）+…+（c1+c2+…+cm-1）
=（m-1）c1+（m-2）c2+…+2cm-2+cm-1．
（3）当c1，c2，…，cm-1的前class="stub"m-1
2
项取1，
后class="stub"m-1
2
项取-1时S（Am）最大，
此时S(Am)=(m-1)+(m-2)+…+class="stub"m+1
2
-(class="stub"m-1
2
+…+2+1)=
(m-1)2
4
（14分）
证明如下：
假设c1，c2，…，cm-1的前class="stub"m-1
2
项中恰有t项cm1，cm2，…，cmt取-1，
则c1，c2，…，cm-1的后class="stub"m-1
2
项中恰有t项cn1，cn2，…cnt取1，
其中1≤t≤class="stub"m-1
2
，1≤mi≤class="stub"m-1
2
，class="stub"n-1
2
＜ni≤m-1，i=1，2，…，t．
所以S（Am）=（m-1）c1+（m-2）c2+…+2cm-2+cm-1
=(m-1)c1+(m-2)c2+…+class="stub"m+1
2
cclass="stub"m-1
2
+class="stub"m-1
2
cclass="stub"m+1
2
+…+2cm-2+cm-1
=(m-1)+(m-2)+…+class="stub"m+1
2
-(class="stub"m-1
2
+…+2+1)-2[（m-m1）+（m-m2）+…+（m-mt]+2[（m-n1）+（m-n2）+…+（m-nt）]
=
(m-1)2
4
-2[(n1-m1)+(n2-m2)+…+(nt-mt)]＜
(m-1)2
4
．
所以S（Am）的最大值为
(m-1)2
4
．

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