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> 已知数列{an}满足a1=1,a2=12,且[3+(-1)n]an+2=2an-2[(-1)n-1](n=1,2,3,…)(1)求a3,a4,a5,a6的值及数列{an}的通项公式;(2)令bn=a2
已知数列{an}满足a1=1,a2=12,且[3+(-1)n]an+2=2an-2[(-1)n-1](n=1,2,3,…)(1)求a3,a4,a5,a6的值及数列{an}的通项公式;(2)令bn=a2
题目简介
已知数列{an}满足a1=1,a2=12,且[3+(-1)n]an+2=2an-2[(-1)n-1](n=1,2,3,…)(1)求a3,a4,a5,a6的值及数列{an}的通项公式;(2)令bn=a2
题目详情
已知数列{a
n
}满足
a
1
=1,
a
2
=
1
2
,且[3+(-1
)
n
]
a
n+2
=2
a
n
-2[(-1
)
n
-1]
(n=1,2,3,…)
(1)求a
3
,a
4
,a
5
,a
6
的值及数列{a
n
}的通项公式;
(2)令b
n
=a
2n-1
•a
2n
,记数列{b
n
}的前n项和为T
n
,求证T
n
<3.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(1)分别令n=1,2,3,4
可求得:
a
3
=3,
a
4
=
class="stub"1
4
,
a
5
=5,
a
6
=
class="stub"1
8
当n为奇数时,不妨设n=2m-1,m∈N*,则a2m+1-a2m-1=2.
∴{a2m-1}为等差数列,∴a2m-1=1+(m-1)•2=2m-1即am=n.
当n为偶数时,设n=2m,m∈N*,则2a2m+2-a2m=0.
∴{a2m}为等比数列,
a
2m
=
class="stub"1
2
•(
class="stub"1
2
)
m-1
=
class="stub"1
2
m
,故
a
n
=(
class="stub"1
2
)
class="stub"n
2
.
综上所述,
a
n
=
n,(n为奇)
(
class="stub"1
2
)
class="stub"n
2
,(n为偶数)
(2)
b
n
=
a
2n-1
•
a
2n
=(2n-1)•
class="stub"1
2
n
∴
T
n
=1×
class="stub"1
2
+3×
class="stub"1
2
2
+5×
class="stub"1
2
3
++(2n-1)•
class="stub"1
2
n
∴
class="stub"1
2
T
n
=1×
class="stub"1
2
2
+3×
class="stub"1
2
2
++(2n-3)•
class="stub"1
2
n
+(2n-1)•
class="stub"1
2
n
,
两式相减:
class="stub"1
2
T
n
=
class="stub"1
2
+2[
class="stub"1
2
2
+
class="stub"1
2
3
++
class="stub"1
2
n
]-(2n-1)•
class="stub"1
2
n+1
=
class="stub"1
2
+2•
class="stub"1
4
(1-
class="stub"1
2
n-1
)
1-
class="stub"1
2
-(2n-1)•
class="stub"1
2
n+1
∴
T
n
=3-
class="stub"2n+3
2
n
,故Tn<3.
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在数列中,,.(1)求的通项公式;(2)令,求
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在数列{an}中,a1=1,an+1=(n∈N
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题目简介
已知数列{an}满足a1=1,a2=12,且[3+(-1)n]an+2=2an-2[(-1)n-1](n=1,2,3,…)(1)求a3,a4,a5,a6的值及数列{an}的通项公式;(2)令bn=a2
题目详情
(1)求a3,a4,a5,a6的值及数列{an}的通项公式;
(2)令bn=a2n-1•a2n,记数列{bn}的前n项和为Tn,求证Tn<3.
答案
可求得:a3=3,a4=
当n为奇数时,不妨设n=2m-1,m∈N*,则a2m+1-a2m-1=2.
∴{a2m-1}为等差数列,∴a2m-1=1+(m-1)•2=2m-1即am=n.
当n为偶数时,设n=2m,m∈N*,则2a2m+2-a2m=0.
∴{a2m}为等比数列,a2m=
综上所述,an=
(2)bn=a2n-1•a2n=(2n-1)•
∴Tn=1×
∴
两式相减:
=
∴Tn=3-