首页 > 若数列{an}满足：a1=m1，a2=m2，an+2=pan+1+qan（p，q是常数），则称数列{an}为二阶线性递推数列，且定义方程x2=px+q为数列{an}的特征方程，方程的根称为特征根；数列

若数列{an}满足：a1=m1，a2=m2，an+2=pan+1+qan（p，q是常数），则称数列{an}为二阶线性递推数列，且定义方程x2=px+q为数列{an}的特征方程，方程的根称为特征根；数列

题目简介

若数列{an}满足：a1=m1，a2=m2，an+2=pan+1+qan（p，q是常数），则称数列{an}为二阶线性递推数列，且定义方程x2=px+q为数列{an}的特征方程，方程的根称为特征根；数列

题目详情

若数列{an}满足：a1=m1，a2=m2，an+2=pan+1+qan（p，q是常数），则称数列{an}为二阶线性递推数列，且定义方程x2=px+q为数列{an}的特征方程，方程的根称为特征根； 数列{an}的通项公式an均可用特征根求得：
①若方程x2=px+q有两相异实根α，β，则数列通项可以写成an=c1αn+c2βn，（其中c1，c2是待定常数）；
②若方程x2=px+q有两相同实根α，则数列通项可以写成an=（c1+nc2）αn，（其中c1，c2是待定常数）；
再利用a1=m1，a2=m2，可求得c1，c2，进而求得an．根据上述结论求下列问题：
（1）当a1=5，a2=13，an+2=5an+1-6an（n∈N*）时，求数列{an}的通项公式；
（2）当a1=1，a2=11，an+2=2an+1+3an+4（n∈N*）时，求数列{an}的通项公式；
（3）当a1=1，a2=1，an+2=an+1+an（n∈N*）时，记Sn=a1Cn1+a2Cn2+…+anCnn，若Sn能被数8整除，求所有满足条件的正整数n的取值集合．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由an+2=5an+1-6an可知特征方程为：x2-5x+6=0，x1=2，x2=3…（3分）
所以 设 an=c1•2n+c2•3n，由
c1•2+c2•3=5
c1•4+c2•9=13
得到c1=c2=1，
所以   an=2n+3n； …（6分）
（2）由an+2=2an+1+3an+4可以得到（an+2+1）=2（an+1+1）+3（an+1）
设bn=an+1，则上述等式可以化为：bn+2=2bn+1+3bn…（8分）
b1=a1+1=2，b2=a2+1=12，所以bn+2=2bn+1+3bn对应的特征方程为：x2-2x-3=0，x1=-1，x2=3…（10分）
所以令   bn=c1•3n+c2•（-1）n，由b1=2，b2=12可以得出
c1=class="stub"7
6
c2=class="stub"3
2

所以bn=class="stub"7
6
•3n+class="stub"3
2
•(-1)n…（11分）
即  an=class="stub"7
6
•3n+class="stub"3
2
•(-1)n-1，n∈N*…（12分）
（3）同样可以得到通项公式an=class="stub"1
5
[(
1+
5
2
)n-(
1-
5
2
)n]，n∈N*…（14分）
所以Sn=a1Cn1+a2Cn2+a3Cn3+…+anCnn=class="stub"1
5
C1n
[(
1+
5
2
)1-(
1-
5
2
)1]+class="stub"1
5
C2n
[(
1+
5
2
)2-(
1-
5
2
)2]+class="stub"1
5
C3n
[(
1+
5
2
)3-(
1-
5
2
)3]+…+class="stub"1
5
Cnn
[(
1+
5
2
)n-(
1-
5
2
)n]=class="stub"1
5
[
C1n
(
1+
5
2
)1+
C2n
(
1+
5
2
)2+
C3n
(
1+
5
2
)3+…+
Cnn
(
1+
5
2
)n]-class="stub"1
5
[
C1n
(
1-
5
2
)1+
C2n
(
1-
5
2
)2+
C3n
(
1-
5
2
)3+…+
Cnn
(
1-
5
2
)n]=class="stub"1
5
[(1+
1+
5
2
)n-(1+
1-
5
2
)n]=class="stub"1
5
[(
3+
5
2
)n-(
3-
5
2
)n]
即     Sn=class="stub"1
5
[(
3+
5
2
)n-(
3-
5
2
)n]，  n∈N*…（14分）Sn+2=class="stub"1
5
[(
3+
5
2
)n+2-(
3-
5
2
)n+2]=class="stub"1
5
[(
3+
5
2
)n+1-(
3-
5
2
)n+1]••[(
3+
5
2
)+(
3-
5
2
)]-[(
3+
5
2
)n-(
3-
5
2
)n]=3Sn+1-Sn
即   Sn+2=3Sn+1-Sn，n∈N*…（16分）
因此Sn+2除以8的余数，完全由Sn+1，Sn除以8的余数确定，
因为a1=1，a2=1所以  S1=C11a1=1，S2=C21a1+C22a2=3，S3=3S2-S1=9-1=8，S4=3S3-S2=24-3=21，S5=3S4-S3=63-8=55，S6=3S5-S4=165-21=144，S7=3S6-S5=432-55=377，S8=3S7-S6=1131-144=987，S9=3S8-S7=2961-377=2584，
由以上计算及Sn+2=3Sn+1-Sn可知，数列{Sn}各项除以8的余数依次是：1，3，0，5，7，0，1，3，0，5，7，0，…，它是一个以6为周期的数列，从而Sn除以8的余数等价于n除以3的余数，所以n=3k，k∈N*，
即所求集合为：{n|n=3k，k∈N*}…（18分）

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