如图所示，抛物线y=1-x2与x轴所围成的区域是一块等待开垦的土地，现计划在该区域内围出一块矩形地块ABCD作为工业用地，其中A、B在抛物线上，C、D在x轴上．已知工业用地每单位-数学

题目简介

如图所示，抛物线y=1-x²与x轴所围成的区域是一块等待开垦的土地，现计划在该区域内围出一块矩形地块ABCD作为工业用地，其中A、B在抛物线上，C、D在x轴上．已知工业用地每单位面积价值为3a元（a＞0），其它的三个边角地块每单位面积价值a元，问如何规划才能使得整块土地总价值最大． 360优课网

题型：解答题难度：中档来源：不详

由

∫

1-1

(1-x2)dx=(x-class="stub"1

x3)

-1

=class="stub"4

，知整个地块的面积为class="stub"4

…（2分）
设点C的坐标为（x，0），则点B（x，1-x2）其中0＜x＜1，
∴SABCD=2x（1-x2）…（4分）
∴土地总价值y=3a•2x(1-x2)+a[class="stub"4

-2x(1-x2)]
=4a•x(1-x2)+class="stub"4

a…（6分）
由y'=4a（1-3x2）=0得x=

或者x=-

(舍去)…（8分）
并且当0＜x＜

时，y′＞0，当

＜x＜1时，y′＜0
故当x=

时，y取得最大值． …（11分）
答：当点C的坐标为(

，0)时，整个地块的总价值最大． …（12分）