已知圆的方程为+(y﹣2)2=1,定直线l的方程为y=﹣1.动圆C与圆外切,且与直线l相切.(1)求动圆圆心C的轨迹M的方程;(2)斜率为k的直线m与轨迹M相切于第一象限的点P,过点P作直线m的-高三

题目简介

已知圆的方程为+(y﹣2)2=1,定直线l的方程为y=﹣1.动圆C与圆外切,且与直线l相切.(1)求动圆圆心C的轨迹M的方程;(2)斜率为k的直线m与轨迹M相切于第一象限的点P,过点P作直线m的-高三

题目详情

已知圆的方程为+(y﹣2)2=1,定直线l的方程为y=﹣1.动圆C与圆外切,且与直线l相切.
(1)求动圆圆心C的轨迹M的方程;
(2)斜率为k的直线m与轨迹M相切于第一象限的点P,过点P作直线m的垂线恰好经过点A(0,6),并交轨迹M与另一点Q,记S为轨迹M与直线PQ围成的封闭图形的面积,求S的值.
题型:解答题难度:中档来源:河南省模拟题

答案

解:(1)设动圆圆心C的坐标为(x,y),
依题意知点C到(0,2)点的距离与到直线y=﹣2的距离相等,
由抛物线的定义知,动点的C的轨迹方程为=8y.
(2)设点P的坐标为,则以P点为切点的斜率为
∴直线PQ的斜率为﹣
所以直线PQ的方程为
由于该直线经过点A(0,6),
所以有6﹣=﹣4,得
∵点P在第一象限,所以x0=4,点P坐标为(4,2),
直线PQ的方程为x+y﹣6=0,
联立.解得x=﹣12或4,
∴点Q坐标为(﹣12,18),

=(﹣)|
=(﹣8+24﹣)﹣(﹣72﹣72+72)
=

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