(本小题满分13分)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是菱形，∠BCD＝60°，点E是BC边的中点，AC与DE交于点O，PO⊥平面ABCD.(Ⅰ)求证：PD⊥BC；(Ⅱ)若AB＝6，PC＝6，求二面角

题目简介

题目详情

(本小题满分13分)
如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是菱形，∠BCD＝60°，点E是BC边的中点，AC与DE交于点O，PO⊥平面ABCD.
(Ⅰ)求证：PD⊥BC；
(Ⅱ)若AB＝6，PC＝6，求二面角P－AD－C的大小；
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，求异面直线PB与DE所成角的余弦值.

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

解：解法一：(Ⅰ)在菱形ABCD中，连接DB，则△BCD是等边三角形.
∵点E是BC边的中点
∴DE⊥BC.
∵PO⊥平面ABCD，
∴OD是斜线PD在底面ABCD内的射影.
∴PD⊥BC.                                         (4分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知DE⊥BC，
菱形ABCD中，AD∥BC，
∴DE⊥AD.
又∵PO⊥平面ABCD，DE是PD在平面ABCD的射影，
∴PD⊥AD.
∴∠PDO为二面角P－AD－C的平面角.
在菱形ABCD中，AD⊥DE，由(1)知，△BCD为等边三角形，
∵点E是BC边的中点，AC与BD互相平分，
∴点O是△BCD重心.
∵AB＝6，
又∵在等边△BDC中，
DO＝DE＝·BC＝×6＝6.
∴OC＝OD＝6.
∵PC＝6，∴PO＝6.
∴在Rt△POD中，tan∠PDO＝＝＝1.
∴∠PDO＝.
∴二面角P－AD－C的大小为.                              (9分)
(Ⅲ)取AD中点H，连接HB，HP.
则HB∥DE.
∴HB与PB所成角即是DE与PB所成角.
连接OH，OB.
∵PO⊥平面ABCD，OH，OB⊂平面ABCD，
∴PO⊥OH，PO⊥OB.
在Rt△DOH中，HD＝3，OD＝6，
∴OH＝3.
在Rt△PHO中，PH＝＝.
在Rt△POB中，OB＝OC＝6，PB＝＝6.
由(Ⅱ)可知DE＝HB＝9.
设HB与PB所成角为α，
则cosα＝＝.
∴异面直线PB、DE所成角的余弦值为.                                    (13分)
解法二：(Ⅰ)同解法一；                                    (4分)
(Ⅱ)过点O作AD平行线交AB于F，以点O为坐标原点，建立如图的坐标系.
∴A(6，－6,0)，B(3，3,0)，C(－3，3,0)，
D(0，－6,0)，P(0,0,6).
∴