(Ⅰ)设a1，a2，…an是各项均不为零的n(n≥4)项等差数列，且公差d≠0。若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列．(ⅰ)当n=4时，求的数值；(ⅱ)求n的所有可能值．(Ⅱ-高

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(Ⅰ)设a₁，a₂，…a_n是各项均不为零的n(n≥4)项等差数列，且公差d≠0。若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列．
(ⅰ)当n=4时，求的数值；
(ⅱ)求n的所有可能值．
(Ⅱ)求证：对于给定的正整数n(n≥4)，存在一个各项及公差均不为零的等差数列b₁，b₂，…，b_n，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列．

题型：解答题难度：偏难来源：江苏高考真题

答案

解：首先证明一个“基本事实”：
一个等差数列中，若有连续三项成等比数列，则这个数列的公差d0=0．
事实上，设这个数列中的连续三项a-d0，a，a+d0成等比数列，则a2=(a-d0)(a+d0)，由此得d0=0．
(Ⅰ)(ⅰ)当n=4时，由于数列的公差d≠0，故由“基本事实”推知，删去的项只可能为a2或a3，
①若删去a2，则由a1，a3，a4成等比数列，得(a1+2d)2=a1(a1+3d)，
因d≠0，故由上式得a1= -4d，即=-4，
此时数列为-4d，-3d，-2d，-d，满足题设．
②若删去a3，则由a1，a2，a4成等比数列，得(a1+d)2=a1（a1+3d），
因d≠0，故由上式得a1=d，即=1，
此时数列为d，2d，3d，4d，满足题设；
综上可知，的值为-4或1。
(ⅱ)若n≥6，则从满足题设的数列a1，a2，…an中删去一项后得到的数列，必有原数列中的连续三项，从而这三项既成等差数列又成等比数列，
故由“基本事实”知，数列a1，a2，…an的公差必为0，这与题设矛盾，所以满足题设的数列的项数n≤5．
又因题设n≥4，故n=4或5，
当n=4时，由(ⅰ)中的讨论知存在满足题设的数列；
当n=5时，若存在满足题设的数列a1，a2，a3，a4，a5，
则由“基本事实”知，删去的项只能是a3，从而a1，a2，a4，a5成等比数列，
故(a1+d)2=a1(a1+3d)，及(a1+3d)2=(a1+d)(a1+4d)，
分别化简上述两个等式，得a1d=d2及a1d=-5d2，故d=0，矛盾．
因此，不存在满足题设的项数为5的等差数列；
综上可知，n只能为4．
(Ⅱ)假设对于某个正整数n，存在一个公差为d′的n项等差数列，
其中三项成等比数列，这里，
则有，
化简，得，（*）
由知，与或同时为零或均不为零，
若=0且=0，则有，
即，得，从而，矛盾；
因此，与都不为零，
故由（*）式，得，
因为m1，m2，m3均为非负整数，
所以上式右边为有理数，从而是一个有理数，
于是，对于任意的正整数n≥4，只要取为无理数，则相应的数列b1，b2，…，bn就是满足要求的数列，例如，取b1=1，，那么n项数列满足要求．

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(Ⅰ)设a1，a2，…an是各项均不为零的n(n≥4)项等差数列，且公差d≠0。若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列．(ⅰ)当n=4时，求的数值；(ⅱ)求n的所有可能值．(Ⅱ-高

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