首页 > 正方体ABCD-A1B1C1D1中，长度为定值的线段EF在线段B1D1上滑动，现有五个命题如下：①AC⊥BE；②EF∥平面A1BD；③直线AE与BF所成角为定值；④直线AE与平面BD1所成角为定值；⑤

正方体ABCD-A1B1C1D1中，长度为定值的线段EF在线段B1D1上滑动，现有五个命题如下：①AC⊥BE；②EF∥平面A1BD；③直线AE与BF所成角为定值；④直线AE与平面BD1所成角为定值；⑤

题目简介

正方体ABCD-A1B1C1D1中，长度为定值的线段EF在线段B1D1上滑动，现有五个命题如下：①AC⊥BE；②EF∥平面A1BD；③直线AE与BF所成角为定值；④直线AE与平面BD1所成角为定值；⑤

题目详情

正方体ABCD-A1B1C1D1中，长度为定值的线段EF在线段B1D1上滑动，现有五个命题如下：
①AC⊥BE；
②EF∥平面A1BD；
③直线AE与BF所成角为定值；
④直线AE与平面BD1所成角为定值；
⑤三棱锥A-BEF的体积为定值．
其中正确命题序号为______．
题型：填空题难度：中档来源：不详

答案

①正确．如图1所示，连接BD，由正方体ABCD-A1B1C1D1中可得AC⊥BD，BB1⊥AC，BD∩BB1=B，∴AC⊥平面BDD1B1，∴AC⊥BE；
②正确．如图图2所示，∵B1D1∥BD，B1D1⊄平面A1BD，而BD⊂平面A1BD，∴EF∥平面A1BD；
③不正确．如图3所示，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，|EF|=m，F（a，b，1），
则E(a+
2
2
m，b+
2
2
m，1)．又A（1，0，0），B（1，1，0）．
∴
AE
=(a+
2
2
m-1，b+
2
2
m，1)，
BF
=（a-1，b-1，1），
∴cos＜
AE
，
BF
＞=
AE
•
BF
|
AE
||
BF
|
=
(a+
2
2
m-1)(a-1)+(b+
2
2
m)(b-1)+1
(a+
2
2
m-1)2+(b+
2
2
m)2+1
(a-1)2+(b-1)2+1
，与a，b的取值有关系．
④如图3所示，取对角面BD1的法向量为
AC
=(-1，1，0)．
设AE与平面BD1所成的角为θ，则sinθ=|cos＜
AE
，
n
＞|=
|
AE
•
n
|
|
AE
||
n
|
=
|1-a-
2
2
m+b+
2
2
m|
(a+
2
2
m-1)2+(b+
2
2
m)2+1
•
2
与a，b的取值有关系；
⑤正确．由①可知：AC⊥平面BDD1B1，∴点A到平面BEF的距离=class="stub"1
2
|AC|，而△BEF的面积=class="stub"1
2
|EF||BB1|，∴VA-BEF=class="stub"1
3
×class="stub"1
2
|AC|•class="stub"1
2
|EF||BB1|，又|AC|，|EF|，|BB1|都为定值，因此三棱锥A-BEF的体积为定值．
综上可知：正确答案为①②⑤．
故答案为①②⑤．

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