如图，已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2，AB=4，（Ⅰ）证明PQ⊥平面ABCD；（Ⅱ）求异面直线AQ与PB所成的角；（Ⅲ）求点P到平面QAD的距离。-高三数学

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如图，已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2，AB=4，
（Ⅰ）证明PQ⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求异面直线AQ与PB所成的角；
（Ⅲ）求点P到平面QAD的距离。

题型：解答题难度：中档来源：湖南省高考真题

答案

解：（Ⅰ）连结AC、BD，设AC∩BD=O，
由P-ABCD与Q-ABCD都是正四棱锥，
所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD，
从而P、O、Q三点在一条直线上，
所以PQ⊥平面ABCD；
（Ⅱ）由题设知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD，
由（Ⅰ），PQ⊥平面ABCD，
故可以分别以直线CA、DB、QP为x轴，y轴，z轴
建立空间直角坐标系（如右图），
由题设条件，相关各点的坐标分别是P（0，0，1），
Q（0，0，-2），，
所以，
于是，
从而异面直线AQ与PB所成的角是；
（Ⅲ）由（Ⅱ），
点D的坐标是（0，，0），
，
设是平面QAD的一个法向量，
由，
取x=1，得，　
所以点P到平面QAD的距离
。

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如图，已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2，AB=4，（Ⅰ）证明PQ⊥平面ABCD；（Ⅱ）求异面直线AQ与PB所成的角；（Ⅲ）求点P到平面QAD的距离。-高三数学

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