首页 > 如图，平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=a，∠B=90°，∠C=135°，沿对角线AC将△ABC折起，使平面ABC与平面ACD互相垂直．（1）求证：AB⊥平面BCD；（2）求点C到平面ABD的距

如图，平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=a，∠B=90°，∠C=135°，沿对角线AC将△ABC折起，使平面ABC与平面ACD互相垂直．（1）求证：AB⊥平面BCD；（2）求点C到平面ABD的距

题目简介

如图，平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=a，∠B=90°，∠C=135°，沿对角线AC将△ABC折起，使平面ABC与平面ACD互相垂直．（1）求证：AB⊥平面BCD；（2）求点C到平面ABD的距

题目详情

如图，平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=a，∠B=90°，∠C=135°，沿对角线AC将△ABC折起，使平面ABC与平面ACD互相垂直．
（1）求证：AB⊥平面BCD；
（2）求点C到平面ABD的距离；
（3）在BD上是否存在一点P，使CP⊥平面ABD，证明你的结论．360优课网
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）取AC的中点M，因为AB=AC，所以BM⊥AC
∵平面ABC⊥平面ACD，∴BM⊥平面ACD，∴BM⊥CD
∵AB=BC=CD=a，∠B=class="stub"π
2
∴∠BAC=∠BCA=class="stub"π
4

∵∠ACD=class="stub"3π
4
，∴∠ACD=class="stub"π
2
，即AC⊥CD
∵AC∩BM=M∴CD⊥平面ABC∴CD⊥AB
∵AB⊥BC且BC∩CD=C
AB⊥平面BCD
（2）由（1）知BA为B到平面ACD的距离，且BM=
2
2
a
设点C到平面ABD的距离h
由已知可得AC=
2
a，∠ACD=class="stub"π
2
，由（1）可得∠AMD=class="stub"π
2
，从而可得AD=
AM2+ DM2
=
2
a
根据等体积可得class="stub"1
3
×class="stub"1
2
×BM×SACD=class="stub"1
3
×class="stub"1
2
×SABD×h
∴
2
a
2
×
2
a×a=a×
2
a×h
h=
2
2
a
点C到平面ABD的距离
2
2
a
（3）假设存在满足条件的P，使得CP⊥平面ABD
则CP⊥BD①，∵BC=CD=a∴P为DB的中点
而此时CP=
2
a
2
，AP=
6
a
2
，AC=
2
a，则AC2=AP2+CP2
∴AP⊥CP②由①②根据直线与平面垂直的判定定理可得此时的P满足条件，
故存在P为BD的中点

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