 如图，连接EG、FG、EF、BD、AC、EF、BD分别交AC于H、O．因为ABCD是正方形，E、F分别为AB和AD的中点，故EF∥BD，H为AO的中点． BD不在平面EFG上．否则，平面EFG和平面ABCD重合，从而点G在平面的ABCD上，与题设矛盾． 由直线和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG，所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离． ∵BD⊥AC， ∴EF⊥HC． ∵GC⊥平面ABCD， ∴EF⊥GC， ∴EF⊥平面HCG． ∴平面EFG⊥平面HCG，HG是这两个垂直平面的交线． 作OK⊥HG交HG于点K，由两平面垂直的性质定理知OK⊥平面EFG，所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距离． ∵正方形ABCD的边长为4，GC=2， ∴AC=4
∴在Rt△HCG中，HG=
由于Rt△HKO和Rt△HCG有一个锐角是公共的，故Rt△HKO∽△HCG． ∴OK=
即点B到平面EFG的距离为
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题目简介
已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2．求点B到平面EFG的距离．-数学
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