如图，已知四棱锥P-ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°，（Ⅰ）求点P到平面ABCD的距离；（Ⅱ）求面APB与面C

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如图，已知四棱锥P-ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°，
（Ⅰ）求点P到平面ABCD的距离；
（Ⅱ）求面APB与面CPB所成二面角的大小。

题型：解答题难度：中档来源：高考真题

答案

解：（Ⅰ）如图，作PO⊥平面ABCD，垂足为点O，
连结OB、OA、OD、OB与AD交于点E，连结PE，
∵AD⊥PB，
∴AD⊥OB，
∵PA=PD，
∴OA=OD，于是OB平分AD，点E为AD的中点，
所以PE⊥AD，
由此知∠PEB为面PAD与面ABCD 所成二面角的平面角，
∴∠PEB=120°，∠PEO=60°，
由已知可求得PE=，
∴PO=PE·sin60°=，
即点P到平面ABCD的距离为。

（Ⅱ）如图，取PB的中点G，PC的中点F，
连结EG、AG、GF，
则AG⊥PB，FG∥BC，FG=BC，
∵AD⊥PB，
∴BC⊥PB，FG⊥PB，
∴∠AGF是所求二面角的平面角，
∵AD⊥面POB，
∴AD⊥EG，
又∵PE=BE，
∴EG⊥PB，且∠PEG=60°，
在Rt△PEG中，EG=PE·cos60°=，
在Rt△PEG中，EG=AD=1，
于是tan∠GAE=，
又∠AGF=π-∠GAE，
所以所求二面角的大小为π-arctan。

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如图，已知四棱锥P-ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°，（Ⅰ）求点P到平面ABCD的距离；（Ⅱ）求面APB与面C

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