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如图，在直角坐标系中，半径为1的⊙A圆心与原点O重合，直线l分别交x轴、y轴于点B、C，若点B的坐标为(6，0)，tan∠ABC=．（1）若点P是⊙A上的动点，求P到直线BC的最小距离，并求此时-九年

题目简介

如图，在直角坐标系中，半径为1的⊙A圆心与原点O重合，直线l分别交x轴、y轴于点B、C，若点B的坐标为(6，0)，tan∠ABC=．（1）若点P是⊙A上的动点，求P到直线BC的最小距离，并求此时-九年

题目详情

如图，在直角坐标系中，半径为1的⊙A圆心与原点O重合，直线l分别交x轴、y轴于点B、C，若点B的坐标为(6，0)，tan∠ABC=

．

（1）若点P是⊙A上的动点，求P到直线BC的最小距离，并求此时点P的坐标；
（2）若点A从原点O出发，以1个单位/秒的速度沿着线路OB→BC→CO运动，回到点O停止运动，⊙A随着点A的运动而移动．设点A运动的时间为t．
①求⊙A在整个运动过程中与坐标轴相切时t的取值；
②求⊙A在整个运动过程中所扫过的图形的面积为．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）

，最小距离为3.8；（2）①

1、

、

、

、

、23；②42+

试题分析：（1）利用点B的坐标为（6，0）且tan∠ABC=

，即可得出C点坐标，进而利用△OPH∽△CBO，求出P点坐标即可；
（2）①利用⊙A在整个运动过程中所扫过的面积=矩形DROC面积+矩形OYHB面积+矩形BGFC面积+△ABC面积+一个圆的面积-△LSK面积，求出即可；
②利用相似三角形的判定与性质得出t的值即可，注意利用数形结合得出．
（1）∵点B的坐标为（6，0）且tan∠ABC=

∴AC=8，
故C点坐标为：C（0，8），
∴BC=10，
过O作OG⊥BC于G，则OG与⊙A的交点即为所求点P．过P作PH⊥x轴于H，

∵PH⊥AB，
∴∠OHP=90°，
∵∠POH+∠COP=90°，∠POC+∠OCG=90°，
∴∠POH=∠OCG，
又∵∠COB=90°，
∴△OPH∽△CBO，

可得

，

∴

；
（2）①如图所示：⊙A与△OBC的三边相切有6种不同的情况，
当⊙O2与BC相切于点N，则O2N⊥BC，

∵∠OBC=∠O2BN，∠O2NB=∠COB=90°，
∴△O2NB∽△COB，

解得

则

，则t的值为

秒，
同理可得出：O3，O4，O5的位置，即可得出时间t的值，
故t=1、

、

、

、

、23；
②如图2所示：当圆分别在O，B，C位置时，作出公切线DR，YH，FG，PW，切点分别为：D，R，H，G，F，P，W
连接CD，CF，BG，过点K作KX⊥BC于点X，PW交AB于点U，

∵PU∥OB，
∴∠OBC=∠KUX，
∵∠KXU=∠COB=90°，
∴△COB∽△KXU，

∵PU∥BO，
∴△CPU∽△COB，

同理可得出：△LSK∽△COB，

解得：LS=4，
则∠CDR=∠CFG=∠BGF=∠BHY=∠AYH=90°，
故⊙A在整个运动过程中所扫过的面积
=矩形DROC面积+矩形OYHB面积+矩形BGFC面积+△ABC面积+一个圆的面积-△LSK面积，

=42+

.
点评：圆的综合题是初中数学的重点和难点，是中考的热点，尤其在压轴题中极为常见，要特别注意.

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