方程组6x-y-z=20x2+y2+z2=1979的所有正整数解是______．-数学

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方程组

6x-y-z=20

x2+y2+z2=1979

的所有正整数解是______．

题型：填空题难度：中档来源：不详

答案

∵

6x-y-z=20

x2+y2+z2=1979

⇒

y+z=6x-20

y2+z2=1979-x2

∵（y-z）2≥0⇒2yz≤y2+z2⇒2yz+y2+z2=2（y2+z2）⇒（y+z）2≤2（y2+z2）
∴（y+z）2=（6x-20）2≤2（y2+z2）=2（1979-x2）
于是（6x-20）2≤2（1979-x2）≤2×1978＜632

注解到不等式（y+z）2≤2（y2+z2）有（y+z）2=（6x-20）2≤2（y2+z2）=2（1979-x2），
于是（6x-20）2≤2（1979-x2）≤2×1978＜632，即-63＜6x-20＜63
又∵y+z=6x-20是正整数
∴0＜6x-20＜63，即class="stub"20

＜x＜class="stub"83

，从而4≤x≤13．
再由y+z为偶数，从而y2+z2为偶数，x2为奇数，进而x为奇数．
∴x=5，7，9，11，13
①当x=5时，

y+z=10

y2+z2=1854

，显然y、z正整数解不存在．
②当x=7时，

y+z=22

y2+z2=1830

，显然y、z正整数解不存在．

③当x=9时，

y+z=34

y2+z2=1898

，显然y、z正整数解不存在．

④当x=11时，解得

x1=11

y1=3

z1=43

或

x2=11

y2=43

z2=3

；
⑤当x=13时，解得

x3=13

y3=21

z3=37

或

x4=13

y4=37

z4=21

．
故答案为

x1=11

y1=3

z1=43

x2=11

y2=43

z2=3

x3=13

y3=21

z3=37

x4=13

y4=37

z4=21

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