如图,△ABC中,E、F分别是AB、AC上的点。①AD平分∠BAC,②DE⊥AB,DF⊥AC,③AD⊥EF。以此三个中的两个为条件,另一个为结论,可构成三个命题,即:①②③,①③②,②③①。(1)试判

题目简介

如图,△ABC中,E、F分别是AB、AC上的点。①AD平分∠BAC,②DE⊥AB,DF⊥AC,③AD⊥EF。以此三个中的两个为条件,另一个为结论,可构成三个命题,即:①②③,①③②,②③①。(1)试判

题目详情

如图,△ABC中,E、F分别是AB、AC上的点。
① AD平分∠BAC,② DE⊥AB,DF⊥AC,③ AD⊥EF。
以此三个中的两个为条件,另一个为结论,可构成三个命题,即:
①②③,①③②,②③①。
(1)试判断上述三个命题是否正确(直接作答);
(2)请证明你认为正确的命题。

题型:解答题难度:中档来源:四川省中考真题

答案

解:(1)①②③,正确;①③②,错误;②③①,正确;
(2)先证①②③,如图1,
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,而AD=AD,
∴Rt△ADE≌Rt△ADF,
∴DE=DF,∠ADE=∠ADF,
设AD与EF交于G,则△DEG≌△DFG,因此∠DGE=∠DGF,进而有∠DGE=∠DGF=90°,故AD⊥EF.再证②③①,
如图2,设AD的中点为O,连结OE,OF,
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴OE,OF分别是Rt△ADE,Rt△ADF斜边上的中线,
,即点O到A、E、D、F的距离相等,
因此四点A、E、D、F在以O为圆心,为半径的圆上,AD是直径.于是EF是⊙O的弦,而EF⊥AD, ∴AD平分,即,故∠DAE=∠DAF,即AD平分∠BAC。


图1

图2

更多内容推荐