如图,△ABC中,E、F分别是AB、AC上的点。①AD平分∠BAC,②DE⊥AB,DF⊥AC,③AD⊥EF。以此三个中的两个为条件,另一个为结论,可构成三个命题,即:①②③,①③②,②③①。(1)试判
图1图2
题目简介
如图,△ABC中,E、F分别是AB、AC上的点。①AD平分∠BAC,②DE⊥AB,DF⊥AC,③AD⊥EF。以此三个中的两个为条件,另一个为结论,可构成三个命题,即:①②③,①③②,②③①。(1)试判
题目详情
① AD平分∠BAC,② DE⊥AB,DF⊥AC,③ AD⊥EF。
以此三个中的两个为条件,另一个为结论,可构成三个命题,即:
①②
(1)试判断上述三个命题是否正确(直接作答);
(2)请证明你认为正确的命题。
答案
(2)先证①②
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,而AD=AD,
∴Rt△ADE≌Rt△ADF,
∴DE=DF,∠ADE=∠ADF,
设AD与EF交于G,则△DEG≌△DFG,因此∠DGE=∠DGF,进而有∠DGE=∠DGF=90°,故AD⊥EF.再证②③
如图2,设AD的中点为O,连结OE,OF,
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴OE,OF分别是Rt△ADE,Rt△ADF斜边上的中线,
∴
因此四点A、E、D、F在以O为圆心,
图1
图2