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在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为56、4-高三数学

题目简介

在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为56、4-高三数学

题目详情

在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为
5
6
、
4
5
、
3
4
、
1
3
，且各轮问题能否正确回答互不影响．
（Ⅰ）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；
（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率；
（Ⅲ）该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X，求随机变量X的分布列和期望．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

设事件Ai（i=1，2，3，4）表示“该选手能正确回答第i轮问题”，
由已知P(A1)=class="stub"5
6
，P(A2)=class="stub"4
5
，P(A3)=class="stub"3
4
，P(A4)=class="stub"1
3
，
（Ⅰ）设事件B表示“该选手进入第三轮被淘汰”，
则P(B)=P(A1A2
.
A
3)=P(A1)P(A2)P(
.
A
3)=class="stub"5
6
×class="stub"4
5
×(1-class="stub"3
4
)=class="stub"1
6
．
（Ⅱ）设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”，
则P(C)=P(
.
A
1+A1
.
A
2+A1A2
.
A
3)=P(
.
A
1)+P(A1
.
A
2)+P(A1A2
.
A
3)=class="stub"1
6
+class="stub"5
6
×class="stub"1
5
+class="stub"5
6
×class="stub"4
5
×(1-class="stub"3
4
)=class="stub"1
2
．
（Ⅲ）X的可能取值为1，2，3，4.P(X=1)=P(
.
A
1)=class="stub"1
6
，P(X=2)=P(A1
.
A
2)=class="stub"5
6
×(1-class="stub"4
5
)=class="stub"1
6
，P(X=3)=P(A1A2A3
.
A4
)=class="stub"5
6
×class="stub"4
5
×class="stub"3
4
×class="stub"1
3
=class="stub"1
6
，P(X=4)=P(A1A2A3)=class="stub"5
6
×class="stub"4
5
×class="stub"3
4
=class="stub"1
2
，
所以，X的分布列为

E(X)=1×class="stub"1
6
+2×class="stub"1
6
+3×class="stub"1
6
+4×class="stub"1
2
=3．

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