首页 > 某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A，B，C，D四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A，B，C，D分别加1分，2分，3分，6分，答错任意题减2分；-高二数学

某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A，B，C，D四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A，B，C，D分别加1分，2分，3分，6分，答错任意题减2分；-高二数学

题目简介

某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A，B，C，D四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A，B，C，D分别加1分，2分，3分，6分，答错任意题减2分；-高二数学

题目详情

某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A，B，C，D四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A，B，C，D分别加1分，2分，3分，6分，答错任意题减2分；
②每答一题，计分器显示累计分数，当累积分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累积分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；答完四题累计分数不足14分时，答题结束淘汰出局；
③每位参加者按A，B，C，D顺序作答，直至答题结束．
假设甲同学对问题A，B，C，D回答正确的概率依次为
3
4
，
1
2
，
1
3
，
1
4
，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
（Ⅰ）求甲同学能进入下一轮的概率；
（Ⅱ）用ξ表示甲同学本轮答题的个数，求ξ的分布列和数学期望Eξ．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

设A，B，C，D分别是第一、二、三、四个问题，用Mi（i=1，2，3，4）表示甲同学第i个问题回答正确，
用Ni（i=1，2，3，4）表示第i个问题回答错误，则Mi与Ni（i=1，2，3，4）是对立事件．由题意得P(M1)=class="stub"3
4
，P(M2)=class="stub"1
2
，P(M3)=class="stub"1
3
，P(M4)=class="stub"1
4
，
则P(N1)=class="stub"1
4
，P(N2)=class="stub"1
2
，P(N3)=class="stub"2
3
，P(N4)=class="stub"3
4
．
（Ⅰ）记“甲同学能进入下一轮”为事件Q，
则Q=M1M2M3+N1M2M3M4+M1N2M3M4+M1M2N3M4+N1M2N3M4
由于每题答题结果相互独立，
∴P（Q）=P（M1M2M3+N1M2M3M4+M1N2M3M4+M1M2N3M4+N1M2N3M4）
=P（M1M2M3）+P（N1M2M3M4）+P（M1N2M3M4）+P（M1M2N3M4）+P（N1M2N3M4）=class="stub"3
4
•class="stub"1
2
•class="stub"1
3
+class="stub"1
4
•class="stub"1
2
•class="stub"1
3
•class="stub"1
4
+class="stub"3
4
•class="stub"1
2
•class="stub"1
3
•class="stub"1
4
+class="stub"3
4
•class="stub"1
2
•class="stub"2
3
•class="stub"1
4
+class="stub"1
4
•class="stub"1
2
•class="stub"2
3
•class="stub"1
4
=class="stub"1
4

（Ⅱ）由题意可知随机变量ξ可能的取值为2，3，4，
由于每题的答题结果都是相对独立的，
∵P(ξ=2)=P(N1N2)=class="stub"1
8
，
P(ξ=3)=P(M1M2M3)+P(M1N2N3)=class="stub"3
4
•class="stub"1
2
•class="stub"1
3
+class="stub"3
4
•class="stub"1
2
•class="stub"2
3
=class="stub"3
8
，
P（ξ=4）=1-P（ξ=2）-P（ξ=3）=1-class="stub"1
8
-class="stub"3
8
=class="stub"1
2

∴Eξ=2×class="stub"1
8
+3×class="stub"3
8
+4×class="stub"1
2
=class="stub"27
8
．

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