已知（1+3x2）n的展开式中，各项系数和为An，二项式系数和为Bn，设An-Bn=992．（1）求n的值；（2）求展开式中二项式系数最大的项；（3）求展开式中系数最大的项．-数学

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已知（1+3x²）ⁿ的展开式中，各项系数和为A_n，二项式系数和为B_n，设A_n-B_n=992．
（1）求n的值；（2）求展开式中二项式系数最大的项；（3）求展开式中系数最大的项．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

解（1）令x=1，则展开式中各项系数和为An=（1+3）n=22n，…（2分）
二项式系数和为Bn=Cn0+Cn1+…+Cnn=2n，…（4分）
则An-Bn=22n-2n=992，解得n=5．…（6分）
（2）因为n=5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项，
所以T3=C52（3x2）2=90x4，T4=C53（3x2）3=270x6．…（10分）
（3）设展开式中第r+1项系数最大，则Tr+1=C5r（3x2）r=3rC5rx2r，
依题意，

≥3r-1

r-15

≥3r+1

r+15

，解得class="stub"7

≤r≤class="stub"9

，故r=4．…（13分）
即展开式中第5项系数最大，T5=C54（3x2）4=405x8．…（14分）
解法二：（1+3x2）5=1+3C51x2+9C52x4+27C53x6+81C54x8+243C55x10=1+15x2+90x4+270x6+405x8+243x10，
即展开式中第5项系数最大，T5=405x8．…（14分）

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已知（1+3x2）n的展开式中，各项系数和为An，二项式系数和为Bn，设An-Bn=992．（1）求n的值；（2）求展开式中二项式系数最大的项；（3）求展开式中系数最大的项．-数学

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