如图,△ABC中,以BC为直径的圆交AB于点D,∠ACD=∠ABC.(1)求证:CA是圆的切线;(2)若点E是BC上一点,已知BE=6,tan∠ABC=,tan∠AEC=,求圆的直径.-九年级数学

题目简介

如图,△ABC中,以BC为直径的圆交AB于点D,∠ACD=∠ABC.(1)求证:CA是圆的切线;(2)若点E是BC上一点,已知BE=6,tan∠ABC=,tan∠AEC=,求圆的直径.-九年级数学

题目详情

如图,△ABC中,以BC为直径的圆交AB于点D,∠ACD=∠ABC.

(1)求证:CA是圆的切线;       
(2)若点E是BC上一点,已知BE=6,tan∠ABC=,tan∠AEC=,求圆的直径.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

解: (1)∵BC是直径,∴∠BDC=90°,∴∠ABC+∠DCB=90°,
∵∠ACD=∠ABC,∴∠ACD+∠DCB=90°,∴BC⊥CA,∴CA是圆的切线.
(2)在Rt△AEC中,tan∠AEC=,∴,;
在Rt△ABC中,tan∠ABC=,∴,;
∵BC-EC=BE,BE=6,∴,解得AC=,
∴BC=.即圆的直径为10.
(1)根据圆周角定理BC得到∠BDC=90°,推出∠ACD+∠DCB=90°,即BC⊥CA,即可判断CA是圆的切线;
(2)根据锐角三角函数的定义得到,代入BC-EC=BE即可求出AC,进一步求出BC即可。

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