首页 > 已知函数f（x）=1+sinxcosx，g(x)=cos2(x+π12)．（I）设x=x0是函数y=f（x）的图象上一条对称轴，求g(x0)的值；（II）求使函数h(x)=f(ωx2)+g(ωx2)(

已知函数f（x）=1+sinxcosx，g(x)=cos2(x+π12)．（I）设x=x0是函数y=f（x）的图象上一条对称轴，求g(x0)的值；（II）求使函数h(x)=f(ωx2)+g(ωx2)(

题目简介

已知函数f（x）=1+sinxcosx，g(x)=cos2(x+π12)．（I）设x=x0是函数y=f（x）的图象上一条对称轴，求g(x0)的值；（II）求使函数h(x)=f(ωx2)+g(ωx2)(

题目详情

已知函数f（x）=1+sinxcosx，g(x)=cos2(x+
π
12
)．
（I）设x=x0是函数y=f（x）的图象上一条对称轴，求g(
x 0 
)的值；
（II）求使函数h(x)=f(
ωx
2
)+g(
ωx
2
)(ω＞0)在区间[-
2π
3
，
π
3
]上是增函数的ω的最大值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（I）f(x)=1+sinxcosx=1+class="stub"1
2
sin2x，g(x)=cos2(x+class="stub"π
12
)=class="stub"1
2
[1+cos(2x+class="stub"π
6
)]，（2分）
∵x=x0是函数f（x）图象的一条对称轴，
∴2x0=kπ+class="stub"π
2
(k∈Z)，（4分）
∴g(x0)=cos2(x0+class="stub"π
12
)=class="stub"1
2
[1+cos(2x0+class="stub"π
6
)]=class="stub"1
2
[1+cos(kπ+class="stub"2π
3
)]
当k为偶数时，g(x0)=class="stub"1
4
；当k为奇数时，g(x0)=class="stub"3
4
.（6分）
（II）h(x)=class="stub"3
2
+class="stub"1
4
sinωx+
3
4
cosωx=class="stub"1
2
sin(ωx+class="stub"π
3
)+class="stub"3
2
（8分）
∵ω＞0，∴当x∈[-class="stub"2π
3
，class="stub"π
3
]时，ωx+class="stub"π
3
∈[-class="stub"2ωπ
3
+class="stub"π
3
，class="stub"ωπ
3
+class="stub"π
3
]
∴[-class="stub"2ωπ
3
+class="stub"π
3
，class="stub"ωπ
3
+class="stub"π
3
]⊆[2kπ-class="stub"π
2
，2kπ+class="stub"π
2
](k∈Z)，（10分）
∴
-class="stub"2ωπ
3
+class="stub"π
3
≥2kπ-class="stub"π
2
class="stub"ωπ
3
+class="stub"π
3
≤2kπ+class="stub"π
2
，即
ω≤-3k+class="stub"5
4
ω≤6k+class="stub"1
2
，
∵ω＞0，∴
-3k+class="stub"5
4
＞0
6k+class="stub"1
2
＞0
，-class="stub"1
12
＜k＜class="stub"5
12
，
∵k∈Z，∴k=0，∴ω≤class="stub"1
2
，ω的最大值是class="stub"1
2
（12分）

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