用一块长为a,宽为b(a>b)的矩形木板,在二面角为α的墙角处围出一个直三棱柱的谷仓,试问应怎样围才能使谷仓的容积最大?并求出谷仓容积的最大值.-高三数学

题目简介

用一块长为a,宽为b(a>b)的矩形木板,在二面角为α的墙角处围出一个直三棱柱的谷仓,试问应怎样围才能使谷仓的容积最大?并求出谷仓容积的最大值.-高三数学

题目详情

用一块长为a,宽为b(ab)的矩形木板,在二面角为α的墙角处围出一个直三棱柱的谷仓,试问应怎样围才能使谷仓的容积最大?并求出谷仓容积的最大值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

当木板的长边着地,并且谷仓的底面是以a为底边的等腰三角形时,谷仓的容积最大,其最大值为a2bcos.
如图,设矩形木板的长边AB着地,并设OA=xOB=y,则a2=x2+y2-2xycosα≥2xy
-2xycosα=2xy(1-cosα).
∵0<απ,∴1-cosα>0,∴xy (当且仅当x=y时取“=”号),故此时谷仓的容积的最大值V1=(xysinα)b= 同理,若木板短边着地时,谷仓的容积V的最大值V2=ab2cos,
ab,∴V1>V2
从而当木板的长边着地,并且谷仓的底面是以a为底边的等腰三角形时,谷仓的容积最大,其最大值为a2bcos.

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