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若矩阵M有特征向量e1=10，e2=01，且它们所对应的一个特征值分别为2，-1．（1）求矩阵M及其逆矩阵N（2）求N10023．-数学

题目简介

若矩阵M有特征向量e1=10，e2=01，且它们所对应的一个特征值分别为2，-1．（1）求矩阵M及其逆矩阵N（2）求N10023．-数学

题目详情

若矩阵M有特征向量
e1
=
1
0
，
e2
=
0
1
，且它们所对应的一个特征值分别为2，-1．
（1）求矩阵M及其逆矩阵N
（2）求N100
2
3
．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

设矩阵M=
ab
cd
，这里a，b，c，d∈R，
因为
1
0
是矩阵A的属于λ1=2的特征向量，则有
2-a-b
-c2-d
1
0
=
0
0
①，
又因为
0
1
是矩阵A的属于λ2=-1的特征向量，则有
-1-a-b
-c-1-d
0
1
=
0
0
②，
根据①②，则有
2-a=0
-c=0
-b=0
-1-d=0
从而a=2，b=0，c=0，d=-1，因此 A=
20
0-1
，（6分）
设A-1=
ef
gh
，则有
ef
gh
20
0-1
=
2e-f
2g-h
=
10
01
，
则得
2e=1
-f=0
2g=0
-h=1
从而 e=class="stub"1
2
，f=0，g=0，h=-1，因此A-1=
class="stub"1
2
0
0-1
．（10分）
（2）根据题意
e1
=
1
0
，
e2
=
0
1
分别是矩阵A-1属于特征值class="stub"1
2
，-1的特征向量，
由于
2
3
=2
e1
+3
e2

∴N100
2
3
=N100（2
e1
+3
e2
）=2（N100
e1
）+3N100
e2
=2(
λ1001
e1)+
3λ1002
e2=2×(class="stub"1
2
)100
1
0
+3×(-1)100
0
1
=
2-99
3
．

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