已知矩阵A=[x32y]，α=[4-1]，且Aα=[94]．（1）求实数x，y的值；（2）求A的特征值λ1，λ2（λ1＞λ2）及对应的特征向量α1，α2；（3）计算A20α．-高二数学

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已知矩阵A=[

x	3
2	y

]，α=[

4
-1

]，且Aα=[

9
4

]．
（1）求实数x，y的值；
（2）求A的特征值λ₁，λ₂（λ₁＞λ₂）及对应的特征向量

α1

，

α2

；
（3）计算A²⁰α．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵A=[

x	3
2	y

]，α=[

4
-1

]，Aα=[

9
4

]，
∴Aα=[

x	3
2	y

][

4
-1

]=[

4x-3
8-y

]=[

9
4

]，解得：

x=3

y=4

，
∴实数x，y的值分别为3，4；
（2）矩阵A的特征多项式为矩阵M的特征多项式为f（λ）=λ2-7λ+6，
令f（λ）=0，得矩阵M的特征值为6或1，
当λ=6时由二元一次方程

3x-3y=0

-2x+2y=0

得x-y=0，令x=1，则y=1，
所以特征值λ=6对应的特征向量为

α1

1
1

，
当λ=1时由二元一次方程

-2x-3y=0

得2x+3y=0，
令x=3，则y=-2，
所以特征值λ=1对应的特征向量为

α2

3
-2

；
（3）令[

4
-1

]=m

1
1

3
-2

，
∴

m+3n=4

m-2n=-1

，解得：

m=1

n=1

，
故A20α=620

α1

+120

α2

620+3
620-2

．

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已知矩阵A=[x32y]，α=[4-1]，且Aα=[94]．（1）求实数x，y的值；（2）求A的特征值λ1，λ2（λ1＞λ2）及对应的特征向量α1，α2；（3）计算A20α．-高二数学

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