首页 > 已知函数f(x)=3sin(ωx+ϕ)-cos(ωx+ϕ)(0＜ϕ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y=f（x）图象的两相邻对称轴的距离为π2．（1）求f（x）的解析式；（2）将函数y=f（x）的图象向右

已知函数f(x)=3sin(ωx+ϕ)-cos(ωx+ϕ)(0＜ϕ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y=f（x）图象的两相邻对称轴的距离为π2．（1）求f（x）的解析式；（2）将函数y=f（x）的图象向右

题目简介

已知函数f(x)=3sin(ωx+ϕ)-cos(ωx+ϕ)(0＜ϕ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y=f（x）图象的两相邻对称轴的距离为π2．（1）求f（x）的解析式；（2）将函数y=f（x）的图象向右

题目详情

已知函数f(x)=
3
sin(ωx+ϕ)-cos(ωx+ϕ)  (0＜ϕ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y=f（x）图象的两相邻对称轴的距离为
π
2
．
（1）求f（x）的解析式；
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移
π
6
个单位后，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间．
（3）若存在x0∈(0，
2π
3
)，使不等式f（x0）＜m成立，求实数m的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）
f(x)=
3
sin(ωx+ϕ)-cos(ωx+ϕ) 
=
2sin(ωx+ϕ-class="stub"π
6
)
，
∵f（x）为偶函数，所以ϕ-class="stub"π
6
=kπ+class="stub"π
2
，又0＜ϕ＜π，所以ϕ=class="stub"2π
3
，
函数y=f（x）图象的两相邻对称轴的距离为class="stub"π
2
，所以周期T=π，于是ω=2，所以，f(x)=2sin(2x+class="stub"π
2
)=2cos2x．
（2）g(x)=2cos2(x-class="stub"π
6
)=2cos(2x-class="stub"π
3
)，由2kπ≤2x-class="stub"π
3
≤2kπ+π，
解得 kπ+class="stub"π
6
≤x≤kπ+class="stub"2π
3
，所以函数的单调递减区间为[kπ+class="stub"π
6
，kπ+class="stub"2π
3
]   (k∈Z)．
（3）依题可得只需x0∈(0，class="stub"2π
3
)时，m＞（f（x0））min =-2．

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