首页 > 下列命题中真命题的个数是（）①若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB+BC+CD+DA=0；②在四面体ABCD中，若AB•CD=0，AC•BD=0，则AD•BC=0；③在四面体ABCD中点，且满足A

下列命题中真命题的个数是（）①若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB+BC+CD+DA=0；②在四面体ABCD中，若AB•CD=0，AC•BD=0，则AD•BC=0；③在四面体ABCD中点，且满足A

题目简介

下列命题中真命题的个数是（）①若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB+BC+CD+DA=0；②在四面体ABCD中，若AB•CD=0，AC•BD=0，则AD•BC=0；③在四面体ABCD中点，且满足A

题目详情

下列命题中真命题的个数是（　　）
①若A，B，C，D是空间任意四点，则有
AB
+
BC
+
CD
+
DA
=
0
；
②在四面体ABCD中，若
AB
•
CD
=0，
AC
•
BD
=0，则
AD
•
BC
=0；
③在四面体ABCD中点，且满足
AB
•
AC
=0，
AC
•
AD
=0，
AB
•
AD
=0．则△BDC是锐角三角形
④对空间任意点O与不共线的三点A，B，C，若
OP
=x
OA
+y
OA
+z
OC
（其中x，y，z∈R且x+y+z=1），则P，A，B，C四点共面．
A．1B．2C．3D．4
题型：单选题难度：中档来源：不详

答案

①根据向量的加法法则可知
AB
+
BC
+
CD
+
DA
=
0
，∴①正确；
②令
AB
=
a
，
AD
=
b
，
AC
=
c
，
∵
AB
•
CD
=0，
AC
•
BD
=0，
∴
AB
⋅(
AD
-
AC
)=
a
⋅(
b
-
c
)=0，解得
a
•
b
=
a
•
c
 ①
AC
⋅(
AD
-
AB
)=
c
⋅(
b
-
a
)=0，解得
c
⋅
b
=
a
⋅
c
 ②，
∴
c
⋅
b
=
a
⋅
b
，即
c
⋅
b
-
a
⋅
b
=
b
⋅(
c
-
a
)=0，
即
AD
⋅(
AC
-
AB
)=
AD
⋅
BC
=0，∴②正确．
③∵
BC
=
AC
-
AB
，
BD
=
AD
-
AB
，
AB
•
AC
=0，
AC
•
AD
=0，
AB
•
AD
=0．
∴
BC
⋅
BD
=(
AC
-
AB
)⋅(
AD
-
AB
)=
AB
2＞0，
∴∠CBD为锐角，同理
CD
•
CB
＞0，
DB
•
DC
＞0，
即△BDC是锐角三角形，∴③正确．
④对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若
0P
=x
OA
+y
OB
+z
OC
（其中x、y、z∈R），只有当x+y+z=1时，P、A、B、C四点才共面，∴④正确．
故正确是个数有4个，
故选：D．

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