首页 > （本题满分15分）已知数列中，，（n∈N*），（1）试证数列是等比数列，并求数列{}的通项公式；（2）在数列{}中，是否存在连续三项成等差数列的项，若存在，求出所有这样的项，若不存在-高三数学

（本题满分15分）已知数列中，，（n∈N*），（1）试证数列是等比数列，并求数列{}的通项公式；（2）在数列{}中，是否存在连续三项成等差数列的项，若存在，求出所有这样的项，若不存在-高三数学

题目简介

（本题满分15分）已知数列中，，（n∈N*），（1）试证数列是等比数列，并求数列{}的通项公式；（2）在数列{}中，是否存在连续三项成等差数列的项，若存在，求出所有这样的项，若不存在-高三数学

题目详情


（本题满分15分）已知数列中，，（n∈N*），
  （1）试证数列是等比数列，并求数列{}的通项公式；
（2）在数列{}中，是否存在连续三项成等差数列的项，若存在，求出所有这样的项，若不存在，说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）（2）当且仅当k＝3时，bk－1，bk，bk＋1成等差数列
解：（1）证明: 由，得an＋1＝2n—an，
∴,
∴数列是首项为,公比为的等比数列．………………4分
∴ , 即，
∴………………………………………………………………………7分
（2）解：假设在数列{bn}中，存在连续三项bk－1，bk，bk＋1（k∈N*, k≥2）成等差数列，则bk－1＋bk＋1＝2bk，即，
即＝4……………………………………………………………10分
若k为偶数，则＞0，4＝－4＜0，所以，不存在偶数k，使得
    bk－1，bk，bk＋1成等差数列。………………………………………………………13分
②若k为奇数，则k≥3，∴≥4，而4＝4，
所以，当且仅当k＝3时，bk－1，bk，bk＋1成等差数列．

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