已知关于x的不等式(ax-a2-4)(x-4)>0的解集为A,且A中共含有n个整数,则当n最小时实数a的值为______.-数学

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已知关于x的不等式(ax-a2-4)(x-4)>0的解集为A,且A中共含有n个整数,则当n最小时实数a的值为______.-数学

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已知关于x的不等式(ax-a2-4)(x-4)>0的解集为A,且A中共含有n个整数,则当n最小时实数a的值为______.
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

已知关于x的不等式(ax-a2-4)(x-4)>0,
 ①a<0时,[x-(a+class="stub"4
a
)](x-4)<0,其中a+class="stub"4
a
<0,
故解集为(a+class="stub"4
a
,4),
由于a+class="stub"4
a
=-(-a-class="stub"4
a
)≤-2
(-a)(-class="stub"4
a
)
=-4,
当且仅当-a=-class="stub"4
a
,即a=-2时取等号,
∴a+class="stub"4
a
的最大值为-4,当且仅当a+class="stub"4
a
=-4时,A中共含有最少个整数,此时实数a的值为-2;
②a=0时,-4(x-4)>0,解集为(-∞,4),整数解有无穷多,故a=0不符合条件;
③a>0时,[x-(a+class="stub"4
a
)](x-4)>0,其中a+class="stub"4
a
≥4,
∴故解集为(-∞,4)∪(a+class="stub"4
a
,+∞),整数解有无穷多,故a>0不符合条件;
综上所述,a=-2.
故答案为:-2.

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