已知数列{an}，对于任意n≥2，在an-1与an之间插入n个数，构成的新数列{bn}成等差数列，并记在an-1与an之间插入的这n个数均值为Cn-1，（1）若，求C1、C2、C3；（2）在（1）的条

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已知数列{a_n}，对于任意n≥2，在a_n-1与a_n之间插入n个数，构成的新数列{b_n}成等差数列，并记在a_n-1与a_n之间插入的这n个数均值为C_n-1，
（1）若，求C₁、C₂、C₃；
（2）在（1）的条件下是否存在常数λ，使{C_n+1-λC_n}是等差数列？如果存在，求出满足条件的λ，如果不存在，请说明理由；
（3）求出所有的满足条件的数列{a_n}。

题型：解答题难度：偏难来源：江苏期末题

答案

解：（1）由题意a1=-2，a2=1，a3=5，a4=10，
∴在a1与a2之间插入-1、0，C1=；
在a2与a3之间插入2、3、4，C2=3；
在a3与a4之间插入6、7、8、9，C3=。
（2）在an-1与an之间插入n个数构成等差，，
∴Cn-1=，
假设存在λ使得{Cn+1-λCn}是等差数列，
∵（Cn+1-λCn）-（Cn-λCn-1）=Cn+1-Cn-λ（Cn-Cn-1）

∴λ=1时，{Cn+1-λCn}是等差数列。
（3）由题意满足条件的数列{an}应满足，
，

，
∴an+1-an=（a2-a1）·（n+2），
∴an-an-1=（a2-a1） ·（n+1）
…
a3-a2=（a2-a1）×4
a2-a1=（a2-a1）×3，
∴an-a1=（a2-a1）·，
∴an=（a2-a1）（n-1）（n+4）+a1，
又∵n=1时也满足条件，
∴形如的数列均满足条件。

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已知数列{an}，对于任意n≥2，在an-1与an之间插入n个数，构成的新数列{bn}成等差数列，并记在an-1与an之间插入的这n个数均值为Cn-1，（1）若，求C1、C2、C3；（2）在（1）的条

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