已知数列{an}中,a2=2,前n项和为Sn,且Sn=。(1)证明数列{an+1-an}是等差数列,并求出数列{an}的通项公式;(2)设bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,求使不等式Tn>对

题目简介

已知数列{an}中,a2=2,前n项和为Sn,且Sn=。(1)证明数列{an+1-an}是等差数列,并求出数列{an}的通项公式;(2)设bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,求使不等式Tn>对

题目详情

已知数列{an}中,a2=2,前n项和为Sn,且Sn=
(1)证明数列{an+1-an}是等差数列,并求出数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,求使不等式Tn>对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值。
题型:解答题难度:偏难来源:同步题

答案

解:(1)由题意,当n=1时,
则a1=1,a2=2,则a2-a1=1,
当n≥2时,
=[nan-(n-1)an-1+1]
an+1=[(n+1)an+1-nan+1
则an+1-an=[(n+1)an+1-2nan+(n-1)an-1],
则(n-1)an+1-2(n-1)an+(n-1)an-1=0,
即an+1-2an+an-1=0,
即an+1-an=an-an-1,
则数列{an+1-an}是首项为1,公差为0的等差数列
从而an-an-1=1,则数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列
所以an=n(n∈N*)。
(2)

所以Tn=b1+b2+…+bn


由于

因此Tn单调递增,故Tn的最小值为T1=
,得k<19,
所以k的最大正整数值为18。

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