设两个数列{an},{bn}满足bn=,若{bn}为等差数列,求证:{an}也为等差数列.-高二数学

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设两个数列{an},{bn}满足bn=,若{bn}为等差数列,求证:{an}也为等差数列.-高二数学

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设两个数列{an},{bn}满足bn=,若{bn}为等差数列,求证:{an}也为等差数列.
题型:解答题难度:偏易来源:不详

答案

证明见解析
证明 由题意有
a1+2a2+3a3+…+nan=bn,                            ①
从而有a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1
=bn-1(n≥2),                                  ②
由①-②,得nan=bn-bn-1,
整理得an=,
其中d为{bn}的公差(n≥2).
从而an+1-an=-
==(n≥2).
又a1=b1,a2=
∴a2-a1=-b1==.
综上,an+1-an=d(n∈N*).
所以{an}是等差数列.

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