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已知tanα=12，sin（α+β）=-210，其中0＜α＜π，0＜β＜π．（1）求cosβ的值；（2）求α-β的值．-数学

题目简介

已知tanα=12，sin（α+β）=-210，其中0＜α＜π，0＜β＜π．（1）求cosβ的值；（2）求α-β的值．-数学

题目详情

已知tanα=
1
2
，sin（α+β）=-
2
10
，其中0＜α＜π，0＜β＜π．
（1）求cosβ的值；
（2）求α-β的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵tanα=class="stub"1
2
＞0，且0＜α＜π，
∴0＜α＜class="stub"π
2
，…（1分）
∴cosα=
class="stub"1
1+tan2α
=
2
5
5
，
∴sinα=
1-cos2α
=
5
5
，…（2分）
又0＜β＜π，
∴0＜α+β＜class="stub"3π
2
，…（3分）
又sin（α+β）=-
2
10
＜0，
∴π＜α+β＜class="stub"3π
2
，又sin（α+β）=-
2
10
，
∴cos（α+β）=-
1-sin2(α+β)
=-
7
2
10
，…（4分）
则cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα
=-
7
2
10
×
2
5
5
-
2
10
×
5
5
=-
3
10
10
；…（6分）
（2）∵cosβ=-
3
10
10
＜0，且0＜β＜π，
∴class="stub"π
2
＜β＜π，
∴sinβ=
1-cos2β
=
10
10
，（8分）
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ
=
2
5
5
×（-
3
10
10
）+
5
5
×
10
10
=-
2
2
，…（10分）
又0＜α＜class="stub"π
2
，class="stub"π
2
＜β＜π，
∴-π＜α-β＜0，…（11分）
则α-β=-class="stub"3π
4
．…（12分）

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