如图,已知半圆O的直径AB=4,沿它的一条弦折叠.若折叠后的圆弧与直径AB相切于点D,且AD:DB=3:1,则折痕EF的长.-九年级数学

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如图,已知半圆O的直径AB=4,沿它的一条弦折叠.若折叠后的圆弧与直径AB相切于点D,且AD:DB=3:1,则折痕EF的长.-九年级数学

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如图,已知半圆O的直径AB=4,沿它的一条弦折叠.若折叠后的圆弧与直径AB相切于点D,且AD:DB=3:1,则折痕EF的长      
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案


试题分析:如图,过O作弦BC的垂线OP,垂足为D,分别与弧的交点为A、G,过切点F作PF⊥半径OC交OP于P点,

∵OP⊥BC,∴BD=DC,即OP为BC的中垂线. ∴OP必过弧BGC所在圆的圆心.
又∵OE为弧BGC所在圆的切线,PF⊥OE,∴PF必过弧BGC所在圆的圆心.
∴点P为弧BGC所在圆的圆心.
∵弧BAC沿BC折叠得到弧BGC,∴⊙P为半径等于⊙O的半径,即PF=PG=OE=2,并且AD=GD.
∴OG=AP.
而F点分⊙O的直径为3:1两部分,∴OF=1.
在Rt△OPF中,设OG=x,则OP=x+2,
∴OP2=OF2+PF2,即(x+2)2=12+22,解得x=.
∴AG=2-()=.∴DG=.∴OD=OG+DG=.
在Rt△OBD中,BD2=OB2+OD2,即BD2=22-()2,∴BD=.
∴BC=2BD=

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