如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，CD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，∠ACD＝120º，BD＝10．（1）求证：CA＝CD；（2）求⊙O的半径．-九年级数学

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如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，CD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，∠ACD＝120º，BD＝10．

（1）求证：CA＝CD；（2）求⊙O的半径．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）证明见解析（2）10

（1）证明：连接OC．
∵DC切⊙O于点C，
∴∠OCD=90°．
又∵∠ACD=120°，
∴∠ACO=∠ACD-∠OCD=120°-90°=30°．
∵OC=OA，
∴∠A=∠ACO=30°，
∴∠COD=60°．
∴∠D=30°，
∴CA=DC．
（2）解：∵sin∠D=

，
sin∠D=sin30°=

，
∴

．
解得OB=10．
即⊙O的半径为10．

（1）可通过证明角相等来证边相等．连接OC，则OC⊥CD，那么∠ACO=30°；根据等边对等角我们不难得出∠A=30°，∠COD=60°，直角三角形OCD中，∠COD=60°，因此∠A=∠D=30°，由此便可得出CA=CD．
（2）在直角三角形OCD中，可用半径表示出OC，OD，有∠D的度数，可用正弦函数求出半径的长．

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如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，CD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，∠ACD＝120&ordm;，BD＝10．（1）求证：CA＝CD；（2）求⊙O的半径．-九年级数学

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