首页 > 计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为λ（λ＜1），画面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm空白．怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？如-数学

计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为λ（λ＜1），画面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm空白．怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？如-数学

题目简介

计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为λ（λ＜1），画面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm空白．怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？如-数学

题目详情

计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm2，画面的宽与高的比为λ（λ＜1），画面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm空白．怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？如果要求λ∈[
2
3
，
3
4
]，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？
题型：解答题难度：中档来源：广东

答案

设画面高为xcm，宽为λxcm，
则λx2=4840
设纸张面积为S，则有
S=（x+16）（λx+10）=λx2+（16λ+10）x+160，
将x=
22
10
λ
代入上式得
S=5000+44
10
(8
λ
+class="stub"5
λ
)
当8
λ
=class="stub"5
λ
，即λ=class="stub"5
8
(class="stub"5
8
＜1)时，
S取得最小值，
此时高：x=
class="stub"4840
λ
=88cm，
宽：λx=class="stub"5
8
×88=55cm
如果λ∈[class="stub"2
3
，class="stub"3
4
]，
可设class="stub"2
3
≤λ1＜λ2≤class="stub"3
4
，
则由S的表达式得
S（λ1）-S（λ2）
=44
10
(8
λ1
+class="stub"5
λ1
-8
λ2
-class="stub"5
λ2
)
=44
10
(
λ1
-
λ2
)(8-class="stub"5
λ11λ2
)
由于
λ1λ2
≥class="stub"2
3
＞class="stub"5
8
，故8-class="stub"5
λ1λ2
＞0
因此S（λ1）-S（λ2）＜0，
所以S（λ）在区间[class="stub"2
3
，class="stub"3
4
]内单调递增．
从而，对于λ∈[class="stub"2
3
，class="stub"3
4
]，
当λ=class="stub"2
3
时，S（λ）取得最小值
答：画面高为88cm、宽为55cm时，
所用纸张面积最小；
如果要求λ∈[class="stub"2
3
，class="stub"3
4
]，当λ=class="stub"2
3
时，
所用纸张面积最小．

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