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> 如图,从边长为的正方形铁皮的四个角各截去一个边长为的小正方形,再将四边向上折起,做成一个无盖的长方体铁盒,且要求长方体的高度与底面正方形的边长的比不超过常数,问:-高二数学
如图,从边长为的正方形铁皮的四个角各截去一个边长为的小正方形,再将四边向上折起,做成一个无盖的长方体铁盒,且要求长方体的高度与底面正方形的边长的比不超过常数,问:-高二数学
题目简介
如图,从边长为的正方形铁皮的四个角各截去一个边长为的小正方形,再将四边向上折起,做成一个无盖的长方体铁盒,且要求长方体的高度与底面正方形的边长的比不超过常数,问:-高二数学
题目详情
如图,从边长为
的正方形铁皮的四个角各截去一个边长为
的小正方形,再将四边向上折起,做成一个无盖的长方体铁盒,且要求长方体的高度
与底面正方形的边长的比不超过常数
,问:
取何值时,长方体的容积V有最大值?
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
略
此题是一道应用题,主要还是考查导数的定义及利用导数来求区间函数的最值,利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力,解题的关键是求导要精确.
求体积最大值的问题,由题意解出v的表达式,对函数v进行求导,解出极值点,然后根据极值点来确定函数v的单调区间,
因极值点是关于a,t的表达式,此时就需要讨论函数v的单调性,分别代入求出最大值,从而求解.
解:长方体的体积V(x)=4x(x-a)2,(o<x<a),…………………………2分
由
≤ t 得 0<x≤
< a …………………4分
而V′=12(x-
)(x-a) ∴V在(0,
)增,在(
,a)递减……………6分
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函数的图象在点处的切线的倾斜
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曲线与所围成的图形的面积是。
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