首页 > 若数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn+an=2n(n∈N*)．（1）证明：数列{an-2}为等比数列；（2）求数列{Sn}的前n项和Tn．-高二数学

若数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn+an=2n(n∈N*)．（1）证明：数列{an-2}为等比数列；（2）求数列{Sn}的前n项和Tn．-高二数学

题目简介

若数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn+an=2n(n∈N*)．（1）证明：数列{an-2}为等比数列；（2）求数列{Sn}的前n项和Tn．-高二数学

题目详情

若数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn+an=2n(n∈N*)．
（1）证明：数列{an-2}为等比数列；
（2）求数列{Sn}的前n项和Tn．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵Sn+an=2n，①
∴Sn-1+an-1=2（n-1），n≥2②
由①-②得，2an-an-1=2，n≥2，∴2（an-2）=an-1-2，n≥2，
∵a1-2=-1，
∴数列{an-2}以-1为首项，class="stub"1
2
为公比的等比数列．
（2）由（1）得an-2=-(class="stub"1
2
)n-1，∴an=2-(class="stub"1
2
)n-1，
∵Sn+an=2n，∴Sn=2n-an=2n-2+(class="stub"1
2
)n-1，
∴Tn=[0+(class="stub"1
2
)0]+[2+(class="stub"1
2
)]+…+[2n-2+(class="stub"1
2
)n-1]
=[0+2+…+(2n-2)]+[(class="stub"1
2
)0+(class="stub"1
2
)+…+(class="stub"1
2
)n-1]
=
n(2n-2)
2
+
1-(class="stub"1
2
)n
1-class="stub"1
2
=n2-n+2-(class="stub"1
2
)n-1．

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