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已知直线l与⊙O交于不同的两点E，F，CD是⊙O的直径，CA⊥l，DB⊥l，垂足分别为A，B．若AB=7，BD-AC=1，AE=1，试问在线段AB上是否存在点P，使得以点P，A，C为顶点的三角形与以点

题目简介

已知直线l与⊙O交于不同的两点E，F，CD是⊙O的直径，CA⊥l，DB⊥l，垂足分别为A，B．若AB=7，BD-AC=1，AE=1，试问在线段AB上是否存在点P，使得以点P，A，C为顶点的三角形与以点

题目详情

已知直线l与⊙O交于不同的两点E，F，CD是⊙O的直径，CA⊥l，DB⊥l，垂足分别为A，B．若AB=7，BD-AC=1，AE=1，试问在线段AB上是否存在点P，使得以点P，A，C为顶点的三角形与以点P，B，D为顶点的三角形相似？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）若l与直径CD不相交，如图所示，

（i）作OH⊥AB于H，易得AE=BF，此时△ACE∽△BED，△AFC∽△BDF，
则E，F为满足的点，故AP=AE=1或AP=AF=AB-BF=6
（ii）若除E，F外还存在点P使△APC∽△BPD，设AC=x，BD=y，则y-x=1，
∵Rt△ACE∽Rt△BED，故class="stub"x
AE
=class="stub"EB
y
，得xy=6
于是x=2，y=3或x=-3，y=-2（舍去）
∵△APC∽△BPD，故class="stub"AP
AC
=class="stub"BP
BD
，即class="stub"AP
2
=class="stub"7-AP
3
，解得AP=class="stub"14
5
，
故存在第三个满足条件的点P，且AP=class="stub"14
5
．
综合（i），（ii），满足条件的点有三个，AP的长分别为1，6，class="stub"14
5
．

（2）若l与直径CD相交，且交点为Q，如图
（i）由∠AQC=∠DQB，得Rt△ACQ∽Rt△BDQ，则点Q为满足条件的点，
设AC=x，BD=y，则y-x=1，
又∠DEB=∠ECA，则Rt△ACE∽Rt△BED，
故class="stub"AC
BE
=class="stub"AE
BD
，得xy=8，
于是，x=
33
-1
2
，y=
33
+1
2
或x=
-
33
-1
2
，y=
-
33
+1
2
（舍去）
∵Rt△ACQ∽Rt△BDQ，∴class="stub"AQ
QB
=class="stub"AC
BD
，解得AQ=
231-7
33
66
．
（ii）若除Q外，还存在点P，使△APC∽△BDP，则class="stub"AP
BD
=class="stub"AC
PB
，
整理得AP2-7AP+8=0，解得AP=
7±
17
2
．
综合（i），（ii），满足条件的点P有三个，AP的长分别为
231-7
33
66
，
7+
17
2
，
7-
17
2
．
所以，综合（1）（2）可得，满足条件的点共有6个．AP的长度为：
1，6，class="stub"14
5
，
231-7
33
66
，
7+
17
2
，
7-
17
2
．

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