如图，AB是⊙O的直径，点E是上一点，∠DAC=∠AED．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点E是的中点，连结AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求DF的值．-九年级数学

题目简介

如图，AB是⊙O的直径，点E是

上一点，∠DAC=∠AED．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点E是

的中点，连结AE交BC于点F，当BD=5， CD=4时，求DF的值．

题型：解答题难度：中档来源：不详

（1）证明见解析；（2）2．

试题分析：（1）证明

，可得∠BAC=∠ADC=90°，继而可判断AC是⊙O的切线．
（2）由△ADC∽△BAC可求得AC=6，由点E是

的中点，证明△CAE是等腰三角形，即CA=CF=6，从而求得DF的值．
（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
∵∠B=∠AED =∠CAD，∠C=∠C，
∴

．
∴∠BAC=∠ADC=90°．
∴AC是⊙O的切线．
（2）可证△ADC∽△BAC．
∴

，即AC2=BC×CD=36．解得 AC=6．
∵点E是

的中点，
∴∠DAE=∠BAE．
∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD，
∴CA=CF=6，
∴DF=CA﹣CD=2．