已知函数f(x)=2-1x，a1=32，an+1=f（an）（n∈N）．（1）计算a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式（不用证明）；（2）试证明：对任意n∈N，a1，an，1an不可

题目简介

已知函数f(x)=2-1x，a1=32，an+1=f（an）（n∈N*）．（1）计算a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式（不用证明）；（2）试证明：对任意n∈N*，a1，an，1an不可

已知函数f(x)=2-

，a1=

，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（1）计算a₂，a₃，a₄的值，并猜想数列{a_n}的通项公式（不用证明）；
（2）试证明：对任意n∈N^*，a₁，a_n，

不可能成等差数列．

题型：解答题难度：中档来源：不详

（1）由已知可得数列{an}的递推公式为，an+1=f（an）=2-class="stub"1

求得a2=class="stub"4

，a3=class="stub"5

，a4=class="stub"6

猜想an=class="stub"n+2

n+1

(n∈N*)
（2）假设存在m∈N*，使得a1，am，class="stub"1

成等差数列，则a1+class="stub"1

=2am，
即class="stub"3

+class="stub"m+1

m+2

=2×class="stub"m+2

m+1

，即class="stub"5m+8

2(m+2)

m+1

所以m2-3m-8=0，该方程没有正整数解，所以假设不成立，
所以对任意n∈N*，a1，an，class="stub"1

不可能成等差数列．