已知数列{an}的前n项Sn=pn+q(p≠0,p≠1),求数列{an}是等比数列的充要条件.-高三数学

题目简介

已知数列{a_n}的前n项S_n=pⁿ+q(p≠0,p≠1),求数列{a_n}是等比数列的充要条件.

题型：解答题难度：中档来源：不详

证明略

a1=S1=p+q

当n≥2时，an=Sn－Sn－1=pn－1(p－1)
∵p≠0,p≠1,∴

=p
若{an}为等比数列，则

=p
∴

=p,
∵p≠0，∴p－1=p+q，∴q=－1
这是{an}为等比数列的必要条件.
下面证明q=－1是{an}为等比数列的充分条件

当q=－1时，∴Sn=pn－1(p≠0,p≠1)，a1=S1=p－1
当n≥2时，an=Sn－Sn－1=pn－pn－1=pn－1(p－1)
∴an=(p－1)pn－1 (p≠0,p≠1)

=p为常数
∴q=－1时，数列{an}为等比数列

即数列{an}是等比数列的充要条件为q=－1.