设a=,b=(4sinx,cosx-sinx),f(x)=a·b.(1)求函数f(x)的解析式;(2)已知常数>0,若y=f(x)在区间上是增函数,求的取值范围;(3)设集合A=,B={x||f(x)

题目简介

设a=,b=(4sinx,cosx-sinx),f(x)=a·b.(1)求函数f(x)的解析式;(2)已知常数>0,若y=f(x)在区间上是增函数,求的取值范围;(3)设集合A=,B={x||f(x)

题目详情

设a=,b=(4sinx,cosx-sinx),f(x)=a·b.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)已知常数>0,若y=f(x)在区间上是增函数,求的取值范围;
(3)设集合A=,B={x||f(x)-m|<2},若AB,求实数m的取值范围.
题型:解答题难度:偏易来源:不详

答案

(1)f(x)=2sinx+1(2)(3)m∈(1,4)
(1)f(x)=sin2·4sinx+(cosx+sinx)·(cosx-sinx)
=4sinx·+cos2x
=2sinx(1+sinx)+1-2sin2x=2sinx+1,
∴f(x)=2sinx+1.
(2)∵f(x)=2sinx+1,>0.
由2k-x≤2k+,
得f(x)的增区间是,k∈Z.
∵f(x)在上是增函数,
.
∴-,∴.
(3)由|f(x)-m|<2,得-2<f(x)-m<2,即f(x)-2<m<f(x)+2.
∵AB,∴当≤x≤时,不等式f(x)-2<m<f(x)+2恒成立.
∴f(x)max-2<m<f(x)min+2,
∵f(x)max=f()=3,f(x)min=f()=2,∴m∈(1,4).

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