首页 > 已知数列{an}的通项公式为an=2+43n-1（n∈N*）．（1）求数列{an}的最大项；（2）设bn=an+pan-2，试确定实常数p，使得{bn}为等比数列；（3）设m，n，p∈N*，m＜n＜p

已知数列{an}的通项公式为an=2+43n-1（n∈N*）．（1）求数列{an}的最大项；（2）设bn=an+pan-2，试确定实常数p，使得{bn}为等比数列；（3）设m，n，p∈N*，m＜n＜p

题目简介

已知数列{an}的通项公式为an=2+43n-1（n∈N*）．（1）求数列{an}的最大项；（2）设bn=an+pan-2，试确定实常数p，使得{bn}为等比数列；（3）设m，n，p∈N*，m＜n＜p

题目详情

已知数列{an}的通项公式为an=2+
4
3n-1
（n∈N*）．
（1）求数列{an}的最大项；
（2）设bn=
an+p
an-2
，试确定实常数p，使得{bn}为等比数列；
（3）设m，n，p∈N*，m＜n＜p，问：数列{an}中是否存在三项am，an，ap，使数列am，an，ap是等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：南京模拟

答案

解（1）由题意an=2+class="stub"4
3n-1
，随着n的增大而减小，所以{an}中的最大项为a1=4．
（2）bn=
2+class="stub"4
3n-1
+p
class="stub"4
3n-1
=
(2+p)(3n-1)+4
4
=
(2+p)3n+(2-p)
4
，若{bn}为等比数列，
则b2n+1-bnbn+2=0（n∈N*）所以[（2+p）3n+1+（2-p）]2-[{2+p）3n+（2-p）][（2+p）3n+2+（2-p）]=0（n∈N*），
化简得（4-p2）（2•3n+1-3n+2-3n）=0即-（4-p2）•3n•4=0，解得p=±2．
反之，当p=2时，bn=3n，{bn}是等比数列；当p=-2时，bn=1，{bn}也是等比数列．
所以，当且仅当p=±2时{bn}为等比数列．
（3）因为am=2+class="stub"4
3m-1
，an=2+class="stub"4
3n-1
，ap=2+class="stub"4
3p-1
，
若存在三项am，an，ap，使数列am，an，ap是等差数列，则2an=am+ap，
所以2(2+class="stub"4
3n-1
)=2+class="stub"4
3m-1
+2+class="stub"4
3p-1
，
化简得3n（2×3p-n-3p-m-1）=1+3p-m-2×3n-m（*），
因为m，n，p∈N*，m＜n＜p，
所以p-m≥p-n+1，p-m≥n-m+1，
所以3p-m≥3p-n+1=3×3p-n，3p-m≥3n-m+1=3×3n-m，
（*）的左边≤3n（2×3p-n-3×3p-n-1）=3n（-3p-n-1）＜0，
右边≥1+3×3n-m-2×3n-m=1+3n-m＞0，所以（*）式不可能成立，
故数列{an}中不存在三项am，an，ap，使数列am，an，ap是等差数列．

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