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已知数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an=1n，f(n)=S2nn=1S2n-Sn-1n≥2．（Ⅰ）计算f（1），f（2），f（3）的值；（Ⅱ）比较f（n）与1的大小，并用数学归纳法证明你的结

题目简介

已知数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an=1n，f(n)=S2nn=1S2n-Sn-1n≥2．（Ⅰ）计算f（1），f（2），f（3）的值；（Ⅱ）比较f（n）与1的大小，并用数学归纳法证明你的结

题目详情

已知数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an=
1
n
，f(n)=
S2n   n=1
S2n-Sn-1  n≥2
．
（Ⅰ）计算f（1），f（2），f（3）的值；
（Ⅱ）比较f（n）与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）由已知f(1)=S2=1+class="stub"1
2
=class="stub"3
2
，f(2)=S4-S1=class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+class="stub"1
4
=class="stub"13
12
，f(3)=S6-S2=class="stub"1
3
+class="stub"1
4
+class="stub"1
5
+class="stub"1
6
=class="stub"19
20
；（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（1）＞1，f（2）＞1；当n≥3时，猜想：f（n）＜1．（4分）
下面用数学归纳法证明：
（1）由（Ⅰ）当n=3时，f（n）＜1；（5分）
（2）假设n=k（k≥3）时，f（n）＜1，即f(k)=class="stub"1
k
+class="stub"1
k+1
++class="stub"1
2k
＜1，那么f(k+1)=class="stub"1
k+1
+class="stub"1
k+2
++class="stub"1
2k
+class="stub"1
2k+1
+class="stub"1
2k+2
=(class="stub"1
k
+class="stub"1
k+1
+class="stub"1
k+2
++class="stub"1
2k
)+class="stub"1
2k+1
+class="stub"1
2k+2
-class="stub"1
k
＜1+(class="stub"1
2k+1
-class="stub"1
2k
)+(class="stub"1
2k+2
-class="stub"1
2k
)=1+
2k-(2k+1)
2k(2k+1)
+
2k-(2k+2)
2k(2k+2)
=1-class="stub"1
2k(2k+1)
-class="stub"1
k(2k+2)
＜1，
所以当n=k+1时，f（n）＜1也成立．由（1）和（2）知，当n≥3时，f（n）＜1．（9分）
所以当n=1，和n=2时，f（n）＞1；当n≥3时，f（n）＜1．（10分）

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