已知函数f(1+x)是定义域为R的偶函数,f(2)=12,f′(x)是f(x)的导函数,若∀x∈R,f′(x)<ex,则不等式f(x)<ex-12(e=2.718…)的解集为______.-数学

题目简介

已知函数f(1+x)是定义域为R的偶函数,f(2)=12,f′(x)是f(x)的导函数,若∀x∈R,f′(x)<ex,则不等式f(x)<ex-12(e=2.718…)的解集为______.-数学

题目详情

已知函数f(1+x)是定义域为R的偶函数,f(2)=
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,f′(x)是f(x)的导函数,若∀x∈R,f′(x)<ex,则不等式f(x)<ex-
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(e=2.718…)的解集为______.
题型:填空题难度:中档来源:丹东二模

答案

∵函数f(1+x)是定义域为R的偶函数,∴函数f(x)的对称轴为x=1
f(2)=class="stub"1
2
,∴f(0)=class="stub"1
2

∵f′(x)<ex∴f′(x)-ex<0∴[f(x)-ex]'<0
令函数g(x)=f(x)-ex,则函数g(x)在R上单调递减
且g(0)=f(0)-e0=class="stub"1
2
-1=-class="stub"1
2

f(x)<ex-class="stub"1
2
∴g(x)=f(x)-ex<-class="stub"1
2
=g(0)
∴x>0
故答案为:(0,+∞)

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