首页 > 已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上，f（12）=-1，且当x，y∈（-1，1）时，恒有f（x）-f（y）=f（x-y1-xy）．又数列{an}满足，a1=12，an+1=2an1+an2．（I）

已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上，f（12）=-1，且当x，y∈（-1，1）时，恒有f（x）-f（y）=f（x-y1-xy）．又数列{an}满足，a1=12，an+1=2an1+an2．（I）

题目简介

已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上，f（12）=-1，且当x，y∈（-1，1）时，恒有f（x）-f（y）=f（x-y1-xy）．又数列{an}满足，a1=12，an+1=2an1+an2．（I）

题目详情

已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上，f（
1
2
）=-1，且当x，y∈（-1，1）时，恒有f（x）-f（y）=f（
x-y
1-xy
）．又数列{an}满足，a1=
1
2
，an+1=
2an
1+an2
．
（I ）证明：f（x）在（-1，1）上是奇函数
（ II ）求f（an）的表达式；
（III）设bn=
1
2log2|f(an+1)
，Tn为数列{bn}的前n项和，若T2n+1-Tn≤
m
15
（其中m∈N*）对N∈N*恒成立，求m的最小值．
题型：解答题难度：中档来源：绵阳一模

答案

（Ⅰ）证明：令x=y=0时，则由已知有f（0）-f（0）=f（class="stub"0-0
1-0×0
），
可解得f （0）=0．
再令x=0，y∈（-1，1），则有f（0）-f（y）=f（class="stub"0-y
1-0•y
），即f （-y）=-f （y），
∴f （x）是（-1，1）上的奇函数．…（4分）
（Ⅱ）令x=an，y=-an，于是f（an）-f（-an）=f（
2an
1+
a2n
），
由已知得2f （an）=f （an+1），
∴
f(an+1)
f(an)
=2，
∴数列{f（an）}是以f（a1）=f（class="stub"1
2
）=-1为首项，2为公比的等比数列．
∴f（an）═1×2n-1=-2n-1…（8分）
（III）由（II）得f（an+1）=-2n，于bn=class="stub"1
2n
．
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn
=class="stub"1
2
（1+class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+…class="stub"1
n
），
T2n+1=class="stub"1
2
（1+class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+…class="stub"1
2n+1
），
∴T2n+1-Tn=class="stub"1
2
（class="stub"1
n+1
+class="stub"1
n+2
+…+class="stub"1
2n+1
）．
令k（n）=class="stub"1
2
（class="stub"1
n+1
+class="stub"1
n+2
+…+class="stub"1
2n+1
）．
于是k（n+1）=class="stub"1
2
（class="stub"1
n+2
+class="stub"1
n+3
+…+class="stub"1
2n+3
）．
∴k（n+1）-k（n）=class="stub"1
2
（class="stub"1
2n+2
+class="stub"1
2n+3
-class="stub"1
n+1
）=-class="stub"1
4(n+1)(2n+3)
＜0．
∴k（n+1）＜k（n），即k（n）在N*上单调递减，
∴k（n）max=k（1）=T3-T1=class="stub"5
12
，
∴class="stub"m
15
≥class="stub"5
12
即m≥class="stub"25
4
．
∵m∈N*，
∴m的最小值为7．…（12分）

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