首页 > 已知函数f（x）=mx+3，g（x）=x2+2x+m（1）求证：函数f（x）-g（x）必有零点（2）设函数G（x）=f（x）-g（x）-1①若|G（x）|在[-1，0]上是减函数，求实数m的取值范围；

已知函数f（x）=mx+3，g（x）=x2+2x+m（1）求证：函数f（x）-g（x）必有零点（2）设函数G（x）=f（x）-g（x）-1①若|G（x）|在[-1，0]上是减函数，求实数m的取值范围；

题目简介

已知函数f（x）=mx+3，g（x）=x2+2x+m（1）求证：函数f（x）-g（x）必有零点（2）设函数G（x）=f（x）-g（x）-1①若|G（x）|在[-1，0]上是减函数，求实数m的取值范围；

题目详情

已知函数f（x）=mx+3，g（x）=x2+2x+m
（1）求证：函数f（x）-g（x）必有零点
（2）设函数G（x）=f（x）-g（x）-1
①若|G（x）|在[-1，0]上是减函数，求实数m的取值范围；
②是否存在整数a，b，使得a≤G（x）≤b的解集恰好是[a，b]，若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：南京三模

答案

证明：（1）f（x）-g（x）=-x2+（m-2）x+3-m．
令f（x）-g（x）=0．
则△=（m-2）2-4（m-3）=m2-8m+16=（m-4）2≥0恒成立．
所以方程f（x）-g（x）=0有解．
所以函数f（x）-g（x）必有零点．
（2）①G（x）=f（x）-g（x）-1=-x2+（m-2）x+2-m．
①令G（x）=0，△=（m-2）2-4（m-2）=（m-2）（m-6）．
当△≤0，即2≤m≤6时，G（x）=-x2+（m-2）x+2-m≤0恒成立，
所以|G（x）|=x2-（m-2）x+m-2．
因为|G（x）|在[-1，0]上是减函数，所以class="stub"m-2
2
≥0．解得m≥2．
所以2≤m≤6．
当△＞0，即m＜2或m＞6时，|G（x）|=|x2-（m-2）x+m-2|．
因为|G（x）|在[-1，0]上是减函数，
所以方程x2-（m-2）x+m-2=0的两根均大于零或一根大于零另一根小于零
且x=class="stub"m-2
2
≤-1．
所以
m-2＞0
class="stub"m-2
2
＞0
或
m-2＜0
class="stub"m-2
2
≤-1

解得m＞2或m≤0．
所以m≤0或m＞6．
综上可得，实数m的取值范围为（-∞，0]∪[2，+∞）．
②因为a≤G（x）≤b的解集恰好是[a，b]，
所以
G(a)=a
G(b)=b
a≤
4(2-m)+(m-2)2
4
≤b

由
-a2+(m-2)a+2-m=a
-b2+(m-2)b+2-m=b

消去m，得ab-2a-b=0，显然b≠2．
所以a=class="stub"b
b-2
=1+class="stub"2
b-2
．    
因为a，b均为整数，所以b-2=±1或b-2=±2．
解得
a=3
b=3
或
a=-1
b=1
或
a=2
b=4
或
a=0
b=0
因为a＜b，且a≤
4(2-m)+(m-2)2
4
≤b
所以
a=-1
b=1
或
a=2
b=4

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